链式法则,台湾地区亦称连锁律(英語:Chain rule),用于求合成函数的導數。
兩函數 和 的定義域 ( 和 ) 、值域 ( 和 ) 都包含於實數系 ,若可以定義合成函數 (也就是 ),且 於 可微分,且 於 可微分,則
也可以寫成
求函数 的导数。
- 设
求函数 的导数。
嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理:
和 都是实函数,若可以定義合成函數 且
則有
只要展開極限的δ-ε定義,並考慮 等於或不等於 的兩種狀況,這個極限定理就可以得証。
為了證明連鎖律,定義一個函數 ,其定義域 , 而對應規則為
和一個函數 ,其定義域 , 而對應規則為
這樣,考慮到 於 的導數是以下函數(定義域為)的極限
因為可微則必連續(根據乘法的極限性質),所以 於 連續、 於 連續,故根據上面的極限定理有
而且針對一開始可微的前提有
再根據乘法的極限性質有
即為所求。
考虑函数z = f(x, y),其中x = g(t),y = h(t),g(t)和h(t)是可微函数,那么:
假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数,也就是说,u = h(x, y),v = g(x, y),且这些函数都是可微的。那么,z的偏导数为:
如果我们考虑
为一个向量函数,我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与的偏导数的数量积:
更一般地,对于从向量到向量的函数,求导法则为:
复合函数的最初几个高阶导数为: