集合建構式符號

在數學裡，集合建構式符號（set-builder notation）是常用于描述集合的一種記號，這種描述集合的方式一般也稱為集合抽象化（set abstraction）或set comprehension。一般寫為 $\{x:P(x)\}$ 或 $\{x\in S:P(x)\}$ ，分別只在於論域的不同，前者的元素恰好是那些符合謂詞P的集合，而後者的元素除了符合謂詞P，還得是S的元素。

範例：三角形數的集合[编辑]

以三角形數的集合為例。三角形數有一個規則，它是正整數的和。

下面的每一個等式給出了三角形數集合T的一個元素：

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

\qquad \qquad \quad \vdots

1+2+3+\ldots +n=S

其中，n是正整數，S是左式的結果。

於是我們歸納出一個規則（即公式）：

1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}

這個規則可代表集合T中的元素。於是，集合T可以簡寫為：

T=\left\{S~\left|~S={\frac {n(n+1)}{2}},n\in \mathbb {N} ^{+}\right.\right\}

在上面的簡單範例中，我們將一個繁複的集合表示法，透過一個簡單的規則，重新以簡單的符號來表示這個集合。

集合建構式與一階邏輯[编辑]

當一個集合的元素是用某種公式或條件（亦即，一個函數）所產生，這時候就可以用集合建構式來表示，例如：

偶數集合 = $\{x:x$ 是2的倍數 $\}$
負數集合 = $\{x:x$ 是小於0的數 $\}$

就哲學上來說，這些元素具有某種共同的性質（2的倍數，或是小於0）；在一階邏輯中，這個性質可以使用謂詞來表示，而該集合的一般格式為：

A=\{x:P(x)\}

以偶數集合為例，其謂詞 $P=$ 「是2的倍數」。 $P(x)=$ 「 $x$ 是2的倍數」，被稱為一個命題函數。

集合 $A$ 的元素必定是另一個集合 $B$ 的元素 $x$ ，使得 $P(x)$ 為真（亦即， $A$ 是 $B$ 的一個子集），一般表述為：

A=\{x:x\in B,P(x)\}

或是

A=\{x\in B:P(x)\}

在這裡， $P$ 是謂詞， $x$ 是主詞（ $B$ 集合中的一個元素）， $P(x)$ 是一個傳回真假值的命題函數：

P\colon B\rightarrow \{true,false\}

所以，在數學中，謂詞被視為一種布林值函數。

在實例中，如果沒有指定 $B$ 集合，就表示 $B$ 集合是由謂詞 $P$ 所給出。

集合建構式例句[编辑]

正整數集合可用下列建構式表示：
- $\{x:x$ 是大於0的整數 $\}$
- $\{x:x>0\land x\in \mathbb {Z} \}$
偶數集合可用下列建構式表示：
- $\{x:x$ 是2的倍數 $\}$
- $\{x:x=2k,k\in \mathbb {Z} \}$
負數集合可用下列建構式表示：
- $\{x~|~x$ 是小於0的數 $\}$
- $\{x~|~\forall x\in \mathbb {R} ,x<0\}$
- $\{x\in \mathbb {R} ~|~x<0\}$
平方數集合可用下列建構式表示：
- $\{x~|~x$ 是某個整數的平方 $\}$
- $\{x:x=k^{2};k\in \mathbb {Z} \}$
- $\{x^{2}:x\in \mathbb {Z} \}$
- $\{x\in \mathbb {N} :\exists k\in \mathbb {Z}$ s.t. $k^{2}=x\}$