提示:此条目页的主题不是
合蚌线。
绿色为直线,黑色为直线外一点,所有红色线段和蓝色线段的长度均相等。紫色和橙色曲线是绿色直线关于黑色点的蚌线,紫色为内支,橙色为外支
极点和原直线不变、迹距不同的一系列蚌线
在平面几何中,蚌线是一类曲线,可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说,过定点
的动直线与给定曲线
相交,动直线上满足“与交点距离为定长
”的点的轨迹定出的新曲线,就是原曲线
关于极点
和迹距
的蚌线。[1][2][3]
用解析几何的方式来表述:平面曲线
的极坐标方程为
,则以
为方程的曲线是
关于原点的蚌线。[4]
“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线,即尼科美迪斯蚌线。[5]尼科美迪斯是古希腊数学家,他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。[6]
尼科美迪斯蚌线[编辑]
灰色为直线,黑色为蚌线的极点
迹距小于极点与直线的距离,极点与内支分离
迹距等于极点与直线的距离,极点是内支的尖点
迹距大于极点与直线的距离,极点是内支的结点
有定直线
和直线外一固定点
,过点
的动直线与
相交,动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹,就是直线
关于极点
的蚌线
,即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支,两支的渐近线都为
。[4][5]
通常记
与点
的距离为
,迹距为
。根据
和
的关系,内支有三种不同形态:[4]
- 当
时,蚌线内支没有尖点或结点,极点与内支不相交。
- 当
时,蚌线内支有一个尖点,尖点与极点重合。
- 当
时,蚌线内支有一个结点,结点与极点重合。
尼科美迪斯蚌线是轴对称图形,对称轴与
垂直并通过极点
。[3]
历史和应用[编辑]
尼科米迪斯发明的工具,用来绘制直线蚌线的外支
古希腊数学家尼科美迪斯是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具,这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传,只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出,存在“四种”蚌线,但只记录了“第一种”蚌线,也就是直线蚌线的外支,用来解决尺规作图三大难题中的两个:三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线,很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。[7][6]
帕普斯将该曲线称为“螺线”(κοχλοειδὴς γραμμή),这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”(κογχοειδὴς γραμμή)。[7]
17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线,并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代,蚌线变得很少被数学家研究和关注。[8][9]
倍立方体[编辑]
借助蚌线作出长度为
的线段
作线段
。以点
为圆心、
为半径作圆,以点
为圆心、
为半径作圆,交于点
。
过点
作线段
的垂线
。以点
为极点、
为迹距作直线
的蚌线外支。
延长
交蚌线于点
。延长
交圆
于点
。连接
交
于点
。线段
的长度即为
。[7]
尼科美迪斯的几何证明
|
- 作长方形
, 。
- 延长
,延长 ,交于点 。
- 连接
,交 于点 ,点 是 中点。
- 取
中点 ,连接 。
|
|
![{\displaystyle AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD+MB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f4b6b58b252f165a266ca929d853866880b22a)
![{\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}=MD^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573bc22effe8050916a84ed8d07aded8369bcf84)
![{\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}+MC^{2}=MD^{2}+MC^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632d540fb950b771bf361fdf861fd31b6f9fd136)
![{\displaystyle AD\cdot BD+AC^{2}=CD^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1917c93eb6889ed566fdf300f1977f6eb03fa4e7)
|
![{\displaystyle \triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6275a51e5295c64153a6ff6bd67d3a1e4cae55be)
![{\displaystyle KG:GH=HA:AD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495154a0f452b56987e71367374170de9e33b1d3)
![{\displaystyle \because GH=GL,\ AH=2AB=AE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9b33153c1fbd0301730634631c7735330938c4)
![{\displaystyle \therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee829940a731965cb63cbbe20fb7061ad7235657)
![{\displaystyle \because FD=AB=GL}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccc35ad46c78ca9a7bf5c9072dc5f966ce82dd9)
![{\displaystyle \therefore KG=FC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974c95e4944fdf1df189707cc8cf2f3ed2122f0a)
![{\displaystyle KL=KG+GL=FC+FD=CD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cd131864db4ee8efa8c77261a81b066f83a698)
![{\displaystyle KL^{2}=CD^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120bf6b700169d2f7113a17372a4d11d58efc010)
|
![{\displaystyle KL^{2}=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f86363822a7fd899fa64e520e939466fedce6f)
![{\displaystyle KL^{2}=KB\cdot KG+GL^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cc9953056224a5ae13808f95b6ce4136ddf9d8)
![{\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a10e00d9b8915f91a594880623e9634310e5fbf)
![{\displaystyle \therefore KB\cdot KG+GL^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4ade4a5d6eecb6a68d9d54bd35e3609482c973)
![{\displaystyle KB\cdot KG=AD\cdot BD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bbbf80f99e7e23421be7320100179f9c9a9f94)
![{\displaystyle AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5fcb750d92fec0319ce3c1bf37ab940f894659b)
|
![{\displaystyle HA:AD=AD:KG=KG:GH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fddda702a5840240974d0fc2c07a424e9bfb53)
![{\displaystyle HA=2GH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de6d9019351b2535ca097bd04dc50647cc42622)
[7]
|
三等分角[编辑]
借助蚌线三等分任意锐角
作任意直角三角形
,点
为垂足。以点
为极点、
为迹距作直线
的蚌线外支。
过点
作直线
的垂线,交蚌线于点
。
就是
的三等分线。[7]
解析几何[编辑]
在极坐标系中,设点
为坐标原点,则直线
和蚌线
的方程可以表示为:[4]
![{\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3719e9d26ac82b12e1adaee6a3fb17ac58bb2264)
![{\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3520df54c8e484685cf3441b21ed9a791e474518)
![{\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2064b7821d697013a6422639d2a6a6232f49674a)
在直角坐标系中,设点
为坐标原点,则直线
和蚌线
的方程可以表示为:[4]
![{\displaystyle l:\ x=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d885f7d786c8a16a3201514bf60606156f4211)
![{\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233ff66682d0c2282ab0b88f3df4a293db01170f)
![{\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3279b12ea61ee47696478ba2894cfc1a3e0ab8a)
或用参数方程表示为:[4]
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a25168aaebcc72e06e8e63c151149fdbdf5c10)
- (上下正负号同号,
)
尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。[4]
帕斯卡蜗线[编辑]
帕斯卡蜗线是一类外旋轮线,同时也是一类特殊的蚌线,是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上,所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时,就是心脏线。[1][2]
作圆
关于圆上一个定点
、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点
,延长
至圆外,与所作蚌线交于点
。根据蚌线的性质,易知
。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线。[2]
其他蚌线[编辑]
-
圆对圆外一点的蚌线,迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离
-
圆对圆外一点的蚌线,迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点
-
圆对圆外一点的蚌线,迹距小于极点与圆的最大距离,大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点
-
圆对圆外一点的蚌线,迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点
-
圆对圆外一点的蚌线,迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离
参考来源[编辑]