汉克尔变换是指对任何给定函数
以第一类贝塞尔函数
作无穷级数展开,贝塞尔函数
的阶数不变,级数各项
作变化。各项
前系数
构成了变换函数。对于函数
, 其
阶贝塞尔函数的汉克尔变换(
为自变量)为
![{\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)rdr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efec4cf870d0fb3f832c6fc4d623cf422586f9fc)
其中,
为阶数为
的第一类贝塞尔函数,
。对应的,逆汉克尔变换
定义为
![{\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)kdk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f348d3ae30603d190969a5794e0a53178e4ff7)
汉克尔变换是一种积分变换,最早由德国数学家赫尔曼·汉克尔提出,又被称为傅立叶-贝塞尔变换。
正交性[编辑]
贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r~\operatorname {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6713ceb6890a2f143fe0a927277a8fb227ba475)
其中
与
大于零。
与其他函数变换的关系[编辑]
傅立叶变换[编辑]
零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数
,径向矢量为
,其傅立叶变换为
![{\displaystyle F({\boldsymbol {k}})=\iint f({\boldsymbol {r}})e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}d{\boldsymbol {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856fc2bbd9c89a72f1a817dcc4e6b453cb0ea725)
不失一般性,选择极坐标
,使得矢量
方向指向
。极坐标下的傅立叶变换写作
![{\displaystyle F({\boldsymbol {k}})=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{ikr\cos \theta }rdrd\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0367a28856287ded4466f8085e4079b74cf8d595)
其中
为矢量
与
间夹角。如果函数
恰为圆对称不依赖角变量
,
,对角度
的积分可以提出,傅立叶变换写作
![{\displaystyle F({\boldsymbol {k}})=F(k)=2\pi \int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)rdr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fd7c8833a1fc06e3b71bc221b4c053897beee3)
此式恰为
的零阶汉克尔变换的
倍。
常见汉克尔变换函数对[编辑]
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for -2<Re(m)<-1/2
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, 可为复数
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参见条目[编辑]