數學上,貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中,可以取出幾個子集,子集的球互不相交,且覆蓋原來閉球族中所有球的中心,而子集的數目上限只取決於空間的維數。
定理敘述[编辑]
若
是
中的非退化(半徑為正數)閉球族,當中的球的半徑有有限上界,即
![{\displaystyle \sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e926e283b4a86bcba06b71dd043fbb2880047b32)
而A為當中的球的中心組成的集合。那麼
中存在子集
,每個
是可數多個互不相交的球的集合,而且
![{\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc902219fb4607a2cc2fb0d281ef2034529a74a)
其中
是一個僅依賴於n的常數。
證明大概[编辑]
先假設A是有界集合。依次選取球
- 選擇
為
,適合條件![{\displaystyle r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743f948e3e25d9eea443ac15191637cda0974759)
- 若已選取
,
。令
。若
,就停止;若否,選擇
為
,適合條件![{\displaystyle r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214c822ebb85154db340634625ecc79467e151d2)
球
有以下性質
- 以
的選取方法可知,若j > i,則
,
。
- 將全部球
的半徑縮至三分之一,從以上不等式,可證這些縮小的球
互不相交。
- 若有可數無限多球
,因A有界,及縮小的球不交的性質,所以球
的半徑趨向0。
。若
數目有限,則結果明顯;若數目是無限多,假如有
,那麼
中有球
,而從上一性質知,對足夠大的j,有
,與
的選取條件矛盾。
對k > 1,估算
和多少個之前選擇的球
相交。先將這樣的
按半徑
分成兩組:
為第一組,
為第二組。
對第一組的球
,將其縮小成
後包含在
中。
之間互不相交,故總體積不超過
的體積。又因
,因此
相對
的比例有一個下限,而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。
對第二組的球,任取其中兩個球
,
。考慮以
,
,
作頂點的三角形。因
,
都和
相交,又
不在
,
之內,故有不等式
![{\displaystyle r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df685378e8d693f9ffa4ec76b44035b19a9ce8c)
![{\displaystyle r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef70bb7c92b31f7e010a0724a9fc72125dc3f638)
欲證出此三角形以
為頂點的角
,不小於一常數。可以假設
邊長不大於
邊長。如果
不在
內,則
邊長大於
。若
邊長不小於
邊長,則
為三角形中最長的邊,所以
不小於
。若
邊長小於
邊長,以平面幾何可證得這情形時
不小於arccos(5/6)。如果
在
內,必有i < j,故
,且
不在
內,因此
邊長大於
。可證得這情形時
不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者,得出
的下限為arccos(61/64)。
因此將第二組各個的球的中心和
之間連成直線,則任意兩條直線之間在
的夾角不小於arccos(61/64)。
為中心的單位球面上,這些直線中任何兩條和球面的交點,其間的球面距離,等於直線間的夾角。直線間的夾角下限,就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目,有一個只依賴維數n的上限,這也就是第二組球的數目上限。
和之前的球相交的數目上限,是以上兩組的上限的和,於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為
。現在從
開始依次把球放到子集
內。輪到
時,因為之前的球中最多有
個和
相交,因此在
個子集
中,必定有至少一個所包含的球都不和
相交,於是可以把
加進這個子集。這樣就得出了子集
,滿足條件
![{\displaystyle A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b90b17d35ede3fd93c473b49f97e94c039547f)
對一般的A,設
![{\displaystyle R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168fb952e21f8173155d742e2c73ce26f8c52307)
對每個正整數l,設
![{\displaystyle A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d18b3294e105a702b37e4a363d497de5d415821)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4570cc0a5f4e08075bf9a3b8113bad409357c0e1)
將以上結果用到
和
上,得到子集
,滿足條件
![{\displaystyle A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a3a1308ddb8b1c48c8afe02e11c9bd6526ec77)
對
,設
,
,並設
。那麼
的球互不相交,且有
![{\displaystyle A=\bigcup _{l=1}^{\infty }A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84ead77b32bc211d2e2a98a59f6880f401a088f)
因此定理得證。
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.