在测度论中,法图引理说明了一个函数列的下极限的积分(在勒贝格意义上)和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图(Pierre Fatou),被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。
设
为一个测度空间,
是一个实值的可测正值函数列。那么:
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d06b811c0e12f7c8f9e43709d68a40025b12d4e)
其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限,函数的取值和积分可以是无穷大。
定理的证明基于单调收敛定理(非常容易证明)。设
为函数列
的下极限。对每个正整数
,逐点定义下极限函数:
![{\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763f11d653adb23c7c69f432292ff633bd76af1a)
于是函数列
单调递增并趋于
。
任意
,我们有
,因此
![{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071f4800f09b296c37f7d1a5f00c6f846f2a2359)
于是
![{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9149fcc6336058b63ea45adac0aa9bbf74586d)
据此,由单调收敛定理以及下极限的定义,就有:
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba109fa5ffbb62ea3c357118f3235d77281a09f6)
反向法图引理[编辑]
令
为测度空间
中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在
上可积的正值函数
,使得对所有的
都有
,那么
![{\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66e3e6b186471dc96a96b3ecb8e9a0788d9dfc8)
这里
只需弱可积,即
。
证明:对函数列
应用法图引理即可。
推广到任意实值函数[编辑]
法图引理不仅对取正值的函数列成立,在一定限制条件下,可以扩展到任意的实值函数。令
为测度空间
中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在
上可积的正值函数
,使得对所有的
都有
,那么
证明:对函数列
应用法图引理即可。
逐点收敛[编辑]
在以上的条件下,如果函数列在
上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数
,那么
![{\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e362c44a24a65c12d0564610460b1059c40c9cce)
证明:
是函数列的极限,因此自然是下极限。此外,零测集上的差异对于积分值没有影响。
依测度收敛[编辑]
如果函数列在
上依测度收敛到
,那么上面的命题仍然成立。
证明:存在
的一个子列使得
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841ca072592ef9860db5a75373e4f3c9fd5d68a4)
这个子列仍然依测度收敛到
,于是又存在这个子列的一个子列在
上μ-几乎处处逐点收敛到
,于是命题成立。
外部链接[编辑]
参考来源[编辑]
- H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.