逆威沙特分布參數 |
自由度 (實數)
尺度矩陣 (正定) |
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值域 |
是正定的 |
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機率密度函數 |
![{\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|B\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae776ca3993f045a447ae481c9b63fda46bc178) |
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期望值 |
![{\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebf5637bad79ccfcacd838c40a3e2a7a62af05b) |
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眾數 |
[1]:406 |
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逆威沙特分布,也叫反威沙特分布作是統計學中出現的一類概率分布函數,定義在實值的正定矩陣上。在貝葉斯統計中,逆威沙特分布會用作多變量正態分布協方差矩陣的共軛先驗分布。
如果一個正定矩陣
的逆矩陣
遵從威沙特分布
的話,那麼就說矩陣
遵從逆威沙特分布:
![{\displaystyle \mathbf {B} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4310354e15dcb39c21a4503f31c5ac959964e850)
概率密度函數[編輯]
逆威沙特分布的概率密度函數是:
![{\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f67e48f30867e603d390a26df6c4bd90c6cd63a)
其中
和
都是
的正定矩陣,而Γp(·) 則是多變量伽馬分布。函數
![{\displaystyle \mathrm {trace} \;:\quad \mathbf {M} \quad \rightarrow \quad \mathrm {trace} (\mathbf {M} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6044f87c5080fb2f715c0ec19ae4d7d793fc9e)
指的是跡函數。
相關定理[編輯]
威沙特分布矩陣之逆的概率分布[編輯]
設矩陣
並且
是
的矩陣,那麼
遵從逆威沙特分布:
。它的概率密度函數是:
![{\displaystyle p(\mathbf {B} |\mathbf {\Psi } ,m)={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}\exp \left({-\mathrm {tr} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}\right)}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56edadd1348a061841b86f0d49efd7100db47f15)
其中
,而
是多變量伽馬分布[2]。
威沙特分布矩陣之逆的邊際與條件分布[編輯]
設矩陣
遵從逆威沙特分布。並且假設矩陣
和
都有相適合的分塊矩陣表示方式:
![{\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfad0b50e2063e19095052409d3df324b8dcb8db)
其中子矩陣
和
是
的矩陣,那麼會有:
甲)
和
與
相互獨立,其中
是子矩陣
在
中的舒爾補。
乙)
;
丙)
,其中
是矩陣正態分布。
丁)
共軛分布[編輯]
假設要求先驗分布
為逆威沙特分布
的協方差矩陣
。如果觀測值
是從互相獨立的 p-變量正態分布
的隨機變量得到的,那麼條件分布
遵從的是逆威沙特分布:
。其中
是樣本協方差矩陣的
倍。
因此,逆威沙特矩陣是多變量正態分布的共軛先驗分布。
矩相關特性[編輯]
期望值:[2]:85
![{\displaystyle E(\mathbf {B} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260efd365d5c94a8a12aa08531f0dc1005d3fd03)
矩陣
的每一個係數的方差:
![{\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ij})={\frac {(m-p+1)\psi _{ij}^{2}+(m-p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(m-p)(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b52c3b21a18850945e4f4890fd9fa1830b0f9f)
對角係數的方差是在上式中令
得到,化簡後變成:
![{\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ac5ba1b96dc03ee806730fc4627fc177ec7e14)
相關分布[編輯]
當變量數目減到一個的時候,逆威沙特分布會變成特例:逆伽馬分布。也就是說,當
、
、
以及
的時候,逆威沙特分布的概率密度函數是:
![{\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576ae52b3056ed40f3cb73afdc98484d1546ebb5)
這正是逆伽馬分布。其中
是通常的伽馬函數。
而逆威沙特分布也有推廣,其中一個是正態逆威沙特分布。
參考來源[編輯]