正弦定理是三角學中的一個定理。它指出:對於任意
,
、
、
分別為
、
、
的對邊,
為
的外接圓半徑,則有
做一個邊長為
,
,
的三角形,對應角分別是
,
,
。從角
向
邊做垂線,得到一個長度為h的垂線和兩個直角三角形。
顯然:
![{\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf587186d5215caff8b5a97f9a593c961e08c2e)
且
![{\displaystyle \;\sin B={\frac {h}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae2783f072f368d852d77a47c6cf84e7fcc5a15)
故:
![{\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d87cad7900fd2ff598008ba8c183275380278b)
且
![{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e912f8b7bd90172b51334eb60d7f34ea0421ad51)
同理可證:
![{\displaystyle {\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c07fd651029f2c69564d43560bc5feed470059)
作
的外接圓,設半徑為
,
角A為銳角時[編輯]
由於
與
所對的弧都為
,根據圓周角定理可瞭解到
![{\displaystyle \angle {\rm {A=\angle D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1b13cc747d7838feeafacae618e7d58bd86246)
由於
為外接圓直徑,
![{\displaystyle {\rm {BD}}=2R,\ \angle {\rm {BCD}}={\pi \over 2}rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f9101d1483e86612db08b2845e25ebe9035d23)
所以
![{\displaystyle \sin \angle D={a \over 2R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42961fb7319baca5dd3e45d992997fffe61ec12)
![{\displaystyle \sin \angle A={a \over 2R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603a4a2b152eb775727009ce7bae45b089b24997)
![{\displaystyle {a \over \sin \angle A}=2R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a45264ee4ef24db0664d1ce82fee02d2e0e68f8)
角A為直角時[編輯]
因為
,可以得到
![{\displaystyle \sin \angle A=\sin {\pi \over 2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8da6a807da4f3267dfe13cae79ae83fe236412)
所以可以證明
![{\displaystyle {a \over \sin \angle A}=2R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a45264ee4ef24db0664d1ce82fee02d2e0e68f8)
角A為鈍角時[編輯]
線段
是圓的直徑
根據圓內接四邊形對角互補的性質
![{\displaystyle \angle {\rm {D={\pi }-\angle BAC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d9ecfd92f82c5768d21d839d87d1d447777bba)
所以
![{\displaystyle \qquad \sin \angle BAC=\sin \angle D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e67692f0d9a2ea4792b211f9151db1a1214bcdf)
因為
為外接圓的直徑
。根據正弦定義
![{\displaystyle {\sin \angle BAC}={\sin \angle D}={a \over 2R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa766e24817a18eef468ec9e51979387fc6543e)
變形可得
![{\displaystyle {a \over \sin \angle BAC}=2R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc40ab4e9a95527b5412899134e1123c7bb0bbe)
根據以上的證明方法可以證明得到得到三角形的一條邊與其對角的正弦值的比等於外接圓的直徑,即
![{\displaystyle {\frac {a}{\sin \angle A}}={\frac {b}{\sin \angle B}}={\frac {c}{\sin \angle C}}=2R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07af30fae58545f21d5398c898e37de61c23e0dc)
三面角正弦定理[編輯]
若三面角的三個面角分別為
、
、
,它們所對的二面角分別為
、
、
,則
[1]
多邊形的正弦關係[編輯]
![{\displaystyle \sin \angle OAB\sin \angle OBC\sin \angle OCD\sin \angle ODE\sin \angle OEA=\sin \angle OBA\sin \angle OCB\sin \angle ODC\sin \angle OED\sin \angle OAE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0388f4baca8d2afd11dd90b36aa8e7a3861192a8)
外部連結[編輯]