線性化重力(英語:Linearized gravity)是廣義相對論中一個近似方案,其忽略時空度規張量的非線性貢獻。這使得許多研究問題得以簡化。
線性化重力中,時空度規張量
處理為愛因斯坦場方程式的一個解(通常是閔可夫斯基時空)與一微擾項
兩者之和:
![{\displaystyle g\,=\eta +h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6e3b6aa0f32684cb21ede25122f50a00b4e0c4)
其中η是非動態的背景度規,而被微擾了
——代表真實度規g自平直時空η偏移了多少。
微擾項的處理是採用微擾理論的方法。形容詞「線性化」表示對h作展開式,超過1次方(線性項)以上的微擾項(h的二次方項、h的三次方項等等……)被忽略。
已知
![{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ef880fb78a96846f6e2a160df287c49fe94f8c)
因此,克里斯托費爾符號可以被寫為
![{\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\eta ^{\alpha \delta }(\partial _{\beta }h_{\delta \gamma }+\partial _{\gamma }h_{\beta \delta }-\partial _{\delta }h_{\beta \gamma })+{\mathcal {O}}(|h|)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f5f1eb73ad5bbfd3e88b8024fa4fe96e35c17d)
由於黎曼曲率張量可以被表達成
![{\displaystyle R_{bcd}^{a}=\partial _{c}\Gamma _{bd}^{a}-\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\Gamma _{cm}^{a}\Gamma _{bd}^{m}-\Gamma _{dm}^{a}\Gamma _{bc}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b876297a9bb81bdfd643df5a80c9162c7f59b5)
因此,里奇曲率張量可被寫為
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mu \nu }&=\partial _{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \alpha }^{\alpha }\\&={\frac {1}{2}}\{h_{\ \nu ,\mu \alpha }^{\alpha }+h_{\ \mu ,\nu \alpha }^{\alpha }-h_{\mu \nu ,\alpha }^{\ \ \ \ \ \alpha }-h_{\ \alpha ,\mu \nu }^{\alpha }-h_{\ \mu ,\alpha \nu }^{\alpha }+h_{\mu \alpha ,\nu }^{\ \ \ \ \ \alpha }\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c728a4826661c165036887cc7a5c81fd8cea8bd)
因此,愛因斯坦張量 與愛因斯坦重力場方程式可被寫為
![{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\mu \nu }&=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\\&={\frac {1}{2}}\{\partial _{\mu }\partial _{\alpha }h_{\ \nu }^{\alpha }+\partial _{\nu }\partial _{\alpha }h_{\ \mu }^{\alpha }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h_{\mu \nu }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h\}-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }(\partial _{\alpha }\partial _{\beta }h^{\alpha \beta }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h)\\&=8\pi T_{\mu \nu }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae86154bf189738a61d31c95e6b2d894e91f19e)
若選擇適當的規範,線性化重力場的愛因斯坦場方程式可以被寫為一個二階的波方程式。
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| | | 基礎概念 | |
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| 現象 | |
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| 方程式 | |
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| 進階理論 | |
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| 精確解 | |
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| 近似解與數值模擬 | |
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| 科學家 | |
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- ^ Misner, Charles; Thorne, Kip; Wheeler, John. Gravitation. Princeton University Press. 2017. ISBN 9780691177793.