在實分析或數學分析中,達布積分是一種定義一個函數的積分的方法,它是通過達布和構造的。達布積分和黎曼積分是等價的,也就是說,一個實值函數是達布可積的當且僅當它是黎曼可積的,並且積分的值相等。達布積分的定義比黎曼積分簡單,並且更具操作性。達布積分的名字來自於數學家讓·加斯東·達布(Jean Gaston Darboux)。
區間的分割[編輯]
一個閉區間
的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列
。每個閉區間
叫做一個子區間。定義
為這些子區間長度的最大值:
,其中
。
再定義取樣分割。一個閉區間
的一個取樣分割是指在進行分割
後,於每一個子區間中
取出一點
。
的定義同上。
精細化分割:設
以及
構成了閉區間
的一個取樣分割,
和
是另一個分割。如果對於任意
,都存在
使得
,並存在
使得
,那麼就把分割:
、
稱作分割
、
的一個精細化分割。簡單來說,就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係,稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更「精細」。
達布和[編輯]
設
為一個有界函數,又設
![{\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2832229bc658fbe286d4ead00402b4391a5e56)
是閉區間
的一個分割。令:
![{\displaystyle M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c5ca1d93d5d8b747695d7c0b093f6c5332f86b)
![{\displaystyle m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17031ef039871a0991cf7e24a13b658f8c50b02)
下(綠色)和上(淡紫色)達布和
在分割
下的上達布和定義為:
![{\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a94da9b717baa7acc3eb4eb9e6ce5e86ab8e7b)
同樣的有下達布和的定義:
![{\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe9323891cb592b86fd289960b6954c1bcdb0d)
的上達布積分指的是所有上達布和的下確界:
是閉區間
的一個分割![{\displaystyle \;\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac96819bc2dbac3c2b4aad999b2ba3244516c503)
同樣的
的下達布積分指的是所有下達布和的上確界:
是閉區間
的一個分割![{\displaystyle \;\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac96819bc2dbac3c2b4aad999b2ba3244516c503)
如果
那麼
就稱作達布可積的,並用
表示,記作
在區間
的達布積分。
- 對於任何給定的分割,上達布和永遠大於等於下達布和。此外,下達布和被限制在以
為寬,以
為高的矩形下,佔據
。同樣,上達布和被限制在以
為寬,以
為高的矩形上。
![{\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb367d6382f3b3ea0ed86c0c7c530396f62f06ed)
![{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d619b0804d482219a05635c18e3fc6a3205c50)
- 對處於
的任意![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd13d61bc29ac1d3f5b3f00bb97e40c71e58bf8)
- 下達布積分和上達布積分不必要是線性的。令
是一個有界函數,則上達布積分和下達布積分滿足下面的不等關係。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6a8415c0cd1a088b1db05f02ec46013679df63)
- 對於一個常數
我們有
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b79afcae413fa87670f84eb00cd28431831bd6)
- 對於一個常數
我們有
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ca62a2dfc52e1df5687198edae9b518c9d7516)
- 考慮函數
定義為
![{\displaystyle F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd884d255dc6b83bb350161ef7d5d169293a6898)
那麼
是利普希茨連續的。當
是用達布積分定義的,一個相似的結論也成立。
一個達布可積函數[編輯]
假設我們想證明函數
在區間
上是達布可積的,並且確定它的值。我們需要把區間
分割為
個等大的子區間,每個區間長度為
。我們取
個等大的子區間中一個作為
。
現在因為
在
上嚴格單增,在任意一個特定子區間上的下確界即它的起點。同樣,在任意一個特定子區間上的上確界即它的終點。在
中第
個子區間的起點是
,終點是
。那麼在一個分割
上的下達布和就是
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9d5136be122292af60763e9e5c1d81fead9972)
類似地,上達布和為
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c2c468d5244b9b8e8434d9438d274cb7ecdac1)
由於
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2bc09f3ecdbc20e2d3c87edf1a89e632378eeb)
則對於任意
,我們得到對於
的任何分割
都滿足
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79db3f9eeb430cdbfea8c04297e682ebbbd5f304)
得證
是達布可積的。要找到這個積分的值需要注意到
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef7266625f41abb3c8b66debec812cbe91cf8a2)
一個不可積函數[編輯]
如果我們有函數
定義為
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89e29e98f80fb4ddac2d4399bc7f0c561811b34)
由於有理數和無理數都是R的稠密子集,因而斷定
在任何分割的任何子區間只能取0或1。所以對於任意分割
我們有
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53219a61241091dae7dc2f3a2dfeba19ad209f2)
從中我們可以看出上下達布和不等。
對於更精細的分割,上達布和減小3公分,下達布和變大3公分
如果分割
比分割
「精細」,那麼有
以及
。這是因為
實際上是將
中的若干個子區間再做分割,而分割後的子區間上
的上(下)確界必然比原來區間的上(下)確界小(大)。(見圖)
如果
是同一個區間的兩個分割(不一定要一個比另一個「精細」),那麼
.
所以,
![{\displaystyle L_{f}\leq U_{f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdde330f01f50d4786f8f93a45c8df81b65abd90)
顯然,一個分割的黎曼和一定介於對應的上達布和與下達布和之間。正規的說,如果
![{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d4a0ea7b4246ef16cbb4b440206f001652d947)
並且
![{\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bab87ec922e009ac8e57cb510a42ee6b6480b1)
共同構成區間上的一個取樣分割
![{\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eaa3ccb99cb8faad17534a574ead81e16b9a811)
(正如黎曼積分的定義中那樣),對應
和
的黎曼和為
,就有
![{\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff70314692f1d7b68f3842f71be3158c02ead7de)
由上可以看出,黎曼積分的第二個定義與達布積分的定義等價(見黎曼積分)。如果一個函數
在區間
的達布積分存在,那麼一個對於足夠精細的分割,上達布和與下達布和之間的差將能夠無限趨近於0(都趨近於共同的極限),因此比其更為精細的分割,黎曼和將介於上達布和與下達布和之間,於是趨於一個極限。同時,注意到對於一個分割,我們可以適當取樣使得取樣的函數值趨於上(下)確界(由確界的定義)。這表明如果黎曼和趨於一個定值,則上下達布和之間的差將趨於0,也就是說達布積分存在。