反正弦 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Arcsin.svg/220px-Arcsin.svg.png) |
性質 |
奇偶性 | 奇 |
定義域 | [-1, 1] |
到達域 | ![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee) ([-90°,90°]) |
周期 | N/A |
特定值 |
當x=0 | 0 |
當x=+∞ | N/A |
當x=-∞ | N/A |
最大值 | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
最小值 | ![{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a118833a527afc76283d59786a4e07dea08e479) (-90°) |
其他性質 |
漸近線 | N/A |
根 | 0 |
拐點 | 原點 |
不動點 | 0 |
反正弦(arcsine,
,
)是一種反三角函數。在三角學中,反正弦被定義為正弦值的反函數。在實數域內,正弦函數不是一個雙射函數,故在整個定義域上無法有單值的反函數;但若限定定義域在
([180°k-90°,180°k+90°])內,則正弦函數有反函數。在實數域內,通常將反正弦函數的定義域限制在區間
([-90°,90°])中;若利用自然對數,則可將反正弦函數的定義域擴充至整個複數集,但這樣一來反正弦函數也將變成多值函數。
反正弦的符號是arcsin,也常常寫作
。如此寫法可以被接受的理由是,正弦函數的倒數是餘割,有單獨的寫法,因此不易和
混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中,反正弦會以asin或asn表示。
原始的定義是將正弦函數限制在
([-90°,90°])的反函數,得到如下定義域和值域:
![{\displaystyle \arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7f827ec0fecb3f314ba32e6fe8320742e669ba)
- (
)
利用自然對數可將定義推廣到整個複數集:
![{\displaystyle \arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5d0909fa652e0d63498dcaf98e79ec0bf75498)
拓展到複數的反正弦函數
反正弦函數的導數是:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec06c8ae023ace8c75b0c5b1068603778dc0502)
- 故實數域內,它在整個定義域上單調遞增。
- 反正弦函數的泰勒級數是:
.
反正弦函數是奇函數,故:
另外,反正弦的和差也可以合併成一個反正弦來表達:
![{\displaystyle \arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f033e0ed5d1e36f4090e560264a5c19c9a6ef7)
其中
。
和差公式:
![{\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40e0de84959c203a191a67194e82476d20fe4aa)
倍變數公式:
(對0 ≤ kx ≤ 1)
![{\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bf0ac1ca80348cb47347ee51863067a3fa03c1)