此條目介紹的是
古典伴隨矩陣。關於現今一般所指的
伴隨算子,請見「
埃爾米特伴隨」。
線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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在線性代數中,一個方形矩陣的伴隨矩陣(英語:adjugate matrix)是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆,那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個系數。然而,伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義,並且不需要用到除法。
的伴隨矩陣記作
,或
。
設R是一個交換環,A是一個以R中元素為系數的n×n的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義:
- 定義:A關於第i行第j列的餘子式(記作Mij)是去掉A的第i行第j列之後得到的(n − 1)×(n − 1)矩陣的行列式。
- 定義:A關於第i行第j列的代數餘子式是:
。
- 定義:A的余子矩陣是一個n×n的矩陣C,使得其第i行第j列的元素是A關於第i 行第j 列的代數餘子式。
引入以上的概念後,可以定義:矩陣A的伴隨矩陣是A的余子矩陣的轉置矩陣:
,
也就是說,A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣(記作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A關於第j行第i列的代數餘子式。
簡言之,伴隨矩陣就是把原來余子矩陣C每一列的代數餘子式橫着寫:
。
2x2矩陣[編輯]
一個
矩陣
的伴隨矩陣是
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb1df22d0a4e81ec92e112da727c965b05a9f09)
3x3矩陣[編輯]
對於
的矩陣,情況稍微複雜一點:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398a0c3b73ab588594cb9883853046d3830a340a)
其伴隨矩陣是:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839ce1d11d55c2ae428180c3e244bbdaa5de62ae)
其中
![{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea378414d682b2bcd9fda8b5e21a0bda1069237)
要注意伴隨矩陣是餘因子矩陣的轉置,因此第3行第2列的系數是A關於第2行第3列的代數餘子式。
具體情況[編輯]
對於數值矩陣,
例如求矩陣
的伴隨矩陣
,
只需將數值代入上節得到的表達式中。
即:
。
其中,
為刪掉矩陣
的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式,
為矩陣
的餘因子。
例如:
中第3行第2列的元素為
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fd26d57c03d7cbaa5fe77049583855e7618220)
依照其順序一一計算,便可得到計算後的結果是:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e74e328b55eaacc610ea7fd86c7f9d3bb717f6)
作為拉普拉斯公式的推論,關於n×n矩陣A的行列式,有:
![{\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8d6db483c2e9e12349551a0894de0c429960ad)
其中I是n階的單位矩陣。事實上,A adj(A)的第i行第i列的系數是
。根據拉普拉斯公式,等於A的行列式。
如果i ≠ j,那麼A adj(A)的第i行第j列的系數是
。拉普拉斯公式說明這個和等於0(實際上相當於把A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同,行列式為0)。
由這個公式可以推出一個重要結論:交換環R上的矩陣A可逆當且僅當其行列式在環R中可逆。
這是因為如果A可逆,那麼
,
如果det(A)是環中的可逆元素那麼公式(*)表明
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a509fc4e75d35b8d836c5f4fe514dbd8866e383)
對
的矩陣A和B,有:
,
,
,
,
![{\displaystyle \mathrm {adj} (k\mathbf {A} )=k^{n-1}\ \mathrm {adj} (\mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560eaabf00a5b0eeeccd08401db8894e44404a79)
- 當n>=2時,
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924bd3ec078ecf13946ee2e2c0fb505db0df7468)
- 如果A可逆,那麼
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{-1})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{-1}={\frac {A}{\det A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85405b0c2a5e53635d6f418328fd1cb6f5ef8fc0)
- 如果A是對稱矩陣,那麼其伴隨矩陣也是對稱矩陣;如果A是反對稱矩陣,那麼當n為偶數時,A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣,n為奇數時則是對稱矩陣。
- 如果A是(半)正定矩陣,那麼其伴隨矩陣也是(半)正定矩陣。
- 如果矩陣A和B相似,那麼
和
也相似。
- 如果n>2,那麼非零矩陣A是正交矩陣當且僅當
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\pm A^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9eef00b575c4f35f2d11bee6c96e2a151cb695)
伴隨矩陣的秩[編輯]
當矩陣A可逆時,它的伴隨矩陣也可逆,因此兩者的秩一樣,都是n。當矩陣A不可逆時,A的伴隨矩陣的秩通常並不與A相同。當A的秩為n-1時,其伴隨矩陣的秩為1,當A的秩小於n-1時,其伴隨矩陣為零矩陣。
伴隨矩陣的特徵值[編輯]
設矩陣A在複域中的特徵值為
(即為特徵多項式的n個根),則A的伴隨矩陣的特徵值為
。
證明
這裏要用到一個結論作為引理:一個n階矩陣的n個特徵值的和等於它的跡數,它們的乘積等於矩陣的行列式。
分3種情況討論:
- 如果A的秩為n,即是說A可逆,那麼由引理有:
。只需證明A的伴隨矩陣的特徵值為
。考察矩陣
:
![{\displaystyle \det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba79fd05bb89ec0473bc45ff1c6dcf6b6a232b9f)
![{\displaystyle \ \ =\det(X\mathbf {I} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72145129b9748cfed69a1ce33ebe79c1be3f52c2)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d060004110ddfec0ae8001606f34fb5590b7ec)
由於
,因此
![{\displaystyle \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8332cb05ccb372f9fcbb7c7b46a9b99964ef2fb2)
![{\displaystyle \ \ =\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-{\frac {\det \mathbf {A} }{X}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b09f59cd1d7fa03e4322c2dac8da891bda5342c)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4e45f2fba4a09a0a2fbaead9a8aafcc80e7add)
因此
![{\displaystyle \det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba79fd05bb89ec0473bc45ff1c6dcf6b6a232b9f)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot {\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a965578c989e71122a55aa41de2c7cee25990dc8)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3fc06a2a3b577eae6efe693e5fae75f47d0294)
![{\displaystyle \ \ =\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f5826b2c75e4e9ab3ea89aac7a0b0b0e2e057d)
可以看到
的特徵多項式為
,因此命題成立。
- 如果A的秩嚴格小於n-1,即是說A至少有兩個特徵值為0,於是
![{\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba19e4066e2646c6b06696f2f449986f1a8d90b0)
全部都是0。這時A的伴隨矩陣為0,因此特徵值也全是0。命題成立。
- 如果A的秩等於n-1,即是說A至少有一個特徵值為0,不妨設其為
。由於這時A的伴隨矩陣秩為1,它至少有n-1個特徵值為0。設剩餘的一個為
,則其跡數為
。另一方面,A的伴隨矩陣的跡數為
![{\displaystyle C_{11}+C_{22}+\cdots +C_{nn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55daa4800854f78cdc4978a142ed02d89219980)
這個和恰好等於
,即等於
(其餘都是0)。
綜上所述,對任意的矩陣A,命題都成立。
伴隨矩陣和特徵多項式[編輯]
設
為
的特徵多項式,定義
,那麼:
,
其中
是
的各項系數:
。
伴隨矩陣也出現在行列式的導數形式中。
參考來源[編輯]
外部連結[編輯]