此條目介紹的是
古典伴隨矩陣。关于現今一般所指的
伴隨算子,请见「
埃爾米特伴隨」。
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵(英語:adjugate matrix)是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。
的伴随矩阵记作
,或
。
设R是一个交换环,A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义:
- 定义:A关于第i行第j列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
- 定义:A关于第i行第j列的代数余子式是:
。
- 定义:A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C,使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后,可以定义:矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵:
,
也就是说,A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵(记作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。
简言之,伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写:
。
2x2矩阵[编辑]
一个
矩阵
的伴随矩阵是
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb1df22d0a4e81ec92e112da727c965b05a9f09)
3x3矩阵[编辑]
对于
的矩阵,情况稍微复杂一点:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398a0c3b73ab588594cb9883853046d3830a340a)
其伴随矩阵是:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839ce1d11d55c2ae428180c3e244bbdaa5de62ae)
其中
![{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea378414d682b2bcd9fda8b5e21a0bda1069237)
要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置,因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。
具体情况[编辑]
对于数值矩阵,
例如求矩阵
的伴随矩阵
,
只需将数值代入上节得到的表达式中。
即:
。
其中,
為刪掉矩陣
的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式,
為矩陣
的餘因子。
例如:
中第3行第2列的元素为
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fd26d57c03d7cbaa5fe77049583855e7618220)
依照其順序一一計算,便可得到计算后的结果是:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e74e328b55eaacc610ea7fd86c7f9d3bb717f6)
作为拉普拉斯公式的推论,关于n×n矩阵A的行列式,有:
![{\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8d6db483c2e9e12349551a0894de0c429960ad)
其中I是n阶的单位矩阵。事实上,A adj(A)的第i行第i列的系数是
。根据拉普拉斯公式,等于A的行列式。
如果i ≠ j,那么A adj(A)的第i行第j列的系数是
。拉普拉斯公式说明这个和等于0(实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同,行列式为0)。
由这个公式可以推出一个重要结论:交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。
这是因为如果A可逆,那么
,
如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a509fc4e75d35b8d836c5f4fe514dbd8866e383)
对
的矩阵A和B,有:
,
,
,
,
![{\displaystyle \mathrm {adj} (k\mathbf {A} )=k^{n-1}\ \mathrm {adj} (\mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560eaabf00a5b0eeeccd08401db8894e44404a79)
- 当n>=2时,
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924bd3ec078ecf13946ee2e2c0fb505db0df7468)
- 如果A可逆,那么
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{-1})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{-1}={\frac {A}{\det A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85405b0c2a5e53635d6f418328fd1cb6f5ef8fc0)
- 如果A是对称矩阵,那么其伴随矩阵也是对称矩阵;如果A是反对称矩阵,那么当n为偶数时,A的伴随矩阵也是反对称矩阵,n为奇数时则是对称矩阵。
- 如果A是(半)正定矩阵,那么其伴随矩阵也是(半)正定矩阵。
- 如果矩阵A和B相似,那么
和
也相似。
- 如果n>2,那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\pm A^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9eef00b575c4f35f2d11bee6c96e2a151cb695)
伴随矩阵的秩[编辑]
当矩阵A可逆时,它的伴随矩阵也可逆,因此两者的秩一样,都是n。当矩阵A不可逆时,A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时,其伴随矩阵的秩为1,当A的秩小于n-1时,其伴随矩阵为零矩阵。
伴随矩阵的特征值[编辑]
设矩阵A在复域中的特征值为
(即为特征多项式的n个根),则A的伴随矩阵的特征值为
。
证明
这里要用到一个结论作为引理:一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数,它们的乘积等于矩阵的行列式。
分3种情况讨论:
- 如果A的秩为n,即是说A可逆,那么由引理有:
。只需证明A的伴随矩阵的特征值为
。考察矩阵
:
![{\displaystyle \det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba79fd05bb89ec0473bc45ff1c6dcf6b6a232b9f)
![{\displaystyle \ \ =\det(X\mathbf {I} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72145129b9748cfed69a1ce33ebe79c1be3f52c2)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d060004110ddfec0ae8001606f34fb5590b7ec)
由于
,因此
![{\displaystyle \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8332cb05ccb372f9fcbb7c7b46a9b99964ef2fb2)
![{\displaystyle \ \ =\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-{\frac {\det \mathbf {A} }{X}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b09f59cd1d7fa03e4322c2dac8da891bda5342c)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4e45f2fba4a09a0a2fbaead9a8aafcc80e7add)
因此
![{\displaystyle \det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba79fd05bb89ec0473bc45ff1c6dcf6b6a232b9f)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot {\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a965578c989e71122a55aa41de2c7cee25990dc8)
![{\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3fc06a2a3b577eae6efe693e5fae75f47d0294)
![{\displaystyle \ \ =\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f5826b2c75e4e9ab3ea89aac7a0b0b0e2e057d)
可以看到
的特征多项式为
,因此命题成立。
- 如果A的秩严格小于n-1,即是说A至少有两个特征值为0,于是
![{\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba19e4066e2646c6b06696f2f449986f1a8d90b0)
全部都是0。这时A的伴随矩阵为0,因此特征值也全是0。命题成立。
- 如果A的秩等于n-1,即是说A至少有一个特征值为0,不妨设其为
。由于这时A的伴随矩阵秩为1,它至少有n-1个特征值为0。设剩余的一个为
,则其迹数为
。另一方面,A的伴随矩阵的迹数为
![{\displaystyle C_{11}+C_{22}+\cdots +C_{nn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55daa4800854f78cdc4978a142ed02d89219980)
这个和恰好等于
,即等于
(其余都是0)。
综上所述,对任意的矩阵A,命题都成立。
伴随矩阵和特征多项式[编辑]
设
为
的特征多项式,定义
,那么:
,
其中
是
的各项系数:
。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。
参考来源[编辑]
外部链接[编辑]