鑒相器特性函數:修订间差异
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=== 弦波輸入 === |
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考慮簡單的弦波輸入<math>f^1(\theta)=\sin(\theta),</math> <math>f^2(\theta)=\cos(\theta)</math>以及積分器濾波器。 |
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:<math>\sin(\theta^1(t))\cos(\theta^2(t)) = \frac{1}{2}\sin(\theta^1(t) + \theta^2(t)) + \frac{1}{2}\sin(\theta^1(t) - \theta^2(t))</math> |
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標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號<math>\sin(\theta^1(t) + \theta^2(t))</math>,不改變其低頻訊號<math>\sin(\theta^1(t) - \theta^2(t))</math>。 |
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因此,其弦波訊號的鑒相器特性為 |
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:<math> |
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\varphi(\theta) = \frac{1}{2}\sin(\theta). |
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=== 方波輸入 === |
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考慮高頻方波信號<math>f^1(t) = \sgn(\sin(\theta^1(t)))</math> and <math>f^2(t) = \sgn(\cos(\theta^2(t)))</math>。 |
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針對此訊號,已有論文研究出類似的結果<ref>{{cite journal|author = G. A. Leonov|year = 2008|title = Computation of phase detector characteristics in phase locked loops for clock synchronization|journal = Doklady Mathematics|volume = 78|issue = 1|pages = 643–645|doi = 10.1134/S1064562408040443}}</ref> 。 |
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方波訊號的鑒相器特性為 |
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:<math> |
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\varphi(\theta) = \begin{cases} |
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1+\frac{2\theta}{\pi}, & \text{if }\theta \in [-\pi,0],\\ |
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1-\frac{2\theta}{\pi}, & \text{if }\theta \in [0,\pi].\\ |
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\end{cases} |
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</math> |
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=== 一般輸入訊號 === |
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考慮一般情形的片段連續輸入信號<math>f^{1}(\theta)</math>, <math>f^2(\theta)</math>。 |
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輸入信號可以展開為傅立葉級數,<math>f^1(\theta)</math>和<math>f^2(\theta)</math>傅立葉級數的係數如下: |
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:<math> |
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a^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)\sin(ix)dx, |
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</math><math>b^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)\cos(ix)dx, |
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</math><math>c^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)dx, p = 1,2 |
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</math> |
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鑒相器特性為 |
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<ref name=2012-IEEETCASII-PLL /> |
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:<math> |
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\varphi(\theta) = c^1c^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{\infty}\bigg((a^1_la^2_l + b^1_lb^2_l)\cos(l\theta) + (a^1_lb^2_l - b^1_la^2_l)\sin(l\theta)\bigg). |
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</math> |
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顯然,鑒相器特性<math>\varphi(\theta)</math>是在<math>\mathbb{R}</math>內的週期性、連續有界函數。 |
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有些專利是有關此分析方式的結果<ref>Patent RU 2011113212/08(019571)</ref>。 |
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== 參考資料 == |
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2021年5月22日 (六) 10:42的版本
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鑒相器特性函數(phase detector characteristic)是相位差的函數,可以描述鉴相器的輸出。
在鑒相器的分析時,常需要考慮時域以及相域-時域的特性[1]。 若要建立鑒相器在相域-時域的適合非線性數學模型,需要找到鑒相器的特性。 鑒相器的輸入是高頻信號,其輸出包括低頻的誤差修正信號,對應輸入信號的相位差。若鑒相器的輸出有高頻成份,為了要抑制高頻成份,會需要低通濾波器。鑒相器的特性是指鑒相器在相域-時域的輸出和其輸入相位差的相關性。
鑒相器的特性和其實現方式以及其使用的信號種類有關。考量鑒相器特性時,允許針對高頻振盪使用平均法,也允許從時域下從相位同步系統非自治模型的分析和仿真,改為在相域-時域自治模型的分析和仿真[2]。
類比乘法器的鑒相器特性
考慮用類比乘法器和低通濾波器組成的鑒相器。
此處 and 是高頻信號,分段可微函數, 是輸入信號的波形,是相位,而是濾波器的輸出。
若和滿足高頻條件(高頻條件在[3][4]),則 鑒相器特性函數會用以下方式計算,要使得時域的濾波器輸出
和相域—頻域模型的濾波輸出
幾乎相等
弦波輸入
考慮簡單的弦波輸入 以及積分器濾波器。
標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號,不改變其低頻訊號。
因此,其弦波訊號的鑒相器特性為
方波輸入
考慮高頻方波信號 and 。 針對此訊號,已有論文研究出類似的結果[5] 。 方波訊號的鑒相器特性為
一般輸入訊號
考慮一般情形的片段連續輸入信號, 。
輸入信號可以展開為傅立葉級數,和傅立葉級數的係數如下:
鑒相器特性為 [2]
顯然,鑒相器特性是在內的週期性、連續有界函數。
有些專利是有關此分析方式的結果[6]。
參考資料
- ^ A. J. Viterbi, Principles of Coherent Communication, McGraw-Hill, New York, 1966
- ^ 2.0 2.1 Leonov G.A.; Kuznetsov N.V.; Yuldashev M.V.; Yuldashev R.V. Analytical method for computation of phase-detector characteristic (PDF). IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II. 2012, 59 (10): 633–637. doi:10.1109/TCSII.2012.2213362.
- ^ G. A. Leonov; N. V. Kuznetsov; M. V. Yuldashev; R. V. Yuldashev. Computation of Phase Detector Characteristics in Synchronization Systems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 586–590. doi:10.1134/S1064562411040223.
- ^ N.V. Kuznetsov; G.A. Leonov; M.V. Yuldashev; R.V. Yuldashev. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design. ISSCS 2011 - International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings. 2011: 7–10. doi:10.1109/ISSCS.2011.5978639.
- ^ G. A. Leonov. Computation of phase detector characteristics in phase locked loops for clock synchronization. Doklady Mathematics. 2008, 78 (1): 643–645. doi:10.1134/S1064562408040443.
- ^ Patent RU 2011113212/08(019571)