支撑函数:修订间差异
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其中<math display="inline">x \in \mathbb{R}^n</math> |
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下面的性质并不要求集合''A''是闭且凸的: |
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在<math>h_A(x)</math>有界时,集合<math>\{ u \in \mathbb{R}^n : u \cdot x \le h_A(x)\}</math>表示最小的包含''A''的闭的半空间(half-space);进一步地,集合<math>\mathcal{H}_x = \{u \in \mathbb{R}^n : u \cdot x = h_A(x) \}</math>就是''A''的支撑超平面(supporting hyperplane)。<ref>{{Cite book|title = Convex Analysis and Monotone Operator Theory in HilBert Spaces|last = Bauschke|first = Heinz H|publisher = Springer|year = 2011|isbn = 978-1-4419-9466-0|location = Springer New York Dordrecht Heidelberg London|pages = 109|last2 = Combettes|first2 = Patrick L}}</ref> |
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原点到''A''的支撑超平面的距离<math>d_{\mathcal{H}_x}(0)</math>满足这样的关系:<math>d_{\mathcal{H}_x}(0) = \frac{h_A(x)}{|x|}</math>。取''x ''的模为''1 ''就利用''A''的支撑函数描述了''A''的支撑超平面到原点的距离。 |
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== 例子 == |
== 例子 == |
2015年2月11日 (三) 11:16的版本
在数学领域内,的一个非空的闭凸子集的支撑函数,描述了从的支撑超平面(supporting hyperplane)到原点的距离。是上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地,作为集合上的函数,与这个集合上许多具有几何意义的变换是相容的,比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及闵可夫斯基和。因为具有这些的性质,支撑函数是凸分析或凸几何中相对基础与重要的概念。
定义
的非空闭凸子集的支撑函数是:
其中
下面的性质并不要求集合A是闭且凸的:
在有界时,集合表示最小的包含A的闭的半空间(half-space);进一步地,集合就是A的支撑超平面(supporting hyperplane)。[1]
原点到A的支撑超平面的距离满足这样的关系:。取x 的模为1 就利用A的支撑函数描述了A的支撑超平面到原点的距离。
例子
- 单点集的支撑函数:,
- 单位球的支撑函数:,
- 取A为从a到-a的线段,则有:
性质
- ^ Bauschke, Heinz H; Combettes, Patrick L. Convex Analysis and Monotone Operator Theory in HilBert Spaces. Springer New York Dordrecht Heidelberg London: Springer. 2011: 109. ISBN 978-1-4419-9466-0.