哈沙德數

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哈沙德數(Harshad number)是可以在某個固定的進位制中,被各位數字之和(數字和)整除的整數

哈沙德數又稱尼雲數,是因為伊萬·尼雲在1997年一個有關數論的會議發表的論文。

若一個數無論在任何進位制中都是哈沙德數,稱為全哈沙德數(全尼雲數)。只有四個全哈沙德數:1, 2, 4, 6

所有在零和進位制的底數之間的數都是哈沙德數。

除非是個位數,否則素數不是哈沙德數。

在十進制中,100以內的哈沙德數(OEIS:A005349): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...

連續數個整數均為哈沙德數[编辑]

1994年,H.G. Grundman 證明在十進制並無21個連續整數均是哈沙德數,他亦找到了最小20個連續整數都是哈沙德數的數列,它們大於1044363342786

1996年T. Cai 證明了以下的事實:在二進制存在無限多組連續四個整數為哈沙德數;在三進制存在無限多組六個整數為哈沙德數。

密度[编辑]

N(x)為小於或等於x哈沙德數的數目,對於任何給定的 ε > 0 ,Jean-Marie De KoninckNicolas Doyon發現:

x^{1-\varepsilon} << N(x) << \frac{x\log\log x}{\log x}

De Koninck、Doyon和Katai證明:

N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}

c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

參考[编辑]

  • H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
  • Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
  • Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275