秘書問題

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概率博弈论上,秘书问题(类似的名称有相亲问题、止步问题、见好就收问题、苏丹的嫁妆问题、挑剔的求婚者问题等)内容是这样的:要聘请一名秘书,有 n 个应聘者。每次面试一人,面试后就要及时决定是否聘他,如果当时决定不聘他,他便不会回来。面试后总能清楚了解应聘者的合适程度,并能和之前的每个人做比较。问什么样的策略,才使最佳人选被选中的概率最大。

求解最优策略[编辑]

这个问题的最优解是一个停止规则。在这个规则里,面试官会拒绝头 r - 1 个应聘者(令他们中的最佳人选为 应聘者 M),然后选出第一个比 M 好的应聘者。可见最优策略包含于这个系列的策略中。(如果M在所有n个应聘者中也是最好的一个,那么这个策略将选不出任何人选)对于任意的截断值 r,最佳人选被选中的概率是:


\begin{align}
P(r)
&= \sum_{i=1}^{n}
P\left(\text{applicant } i \text{ is selected} | \text{applicant } i \text{ is the best}\right) \times
P\left(\text{applicant } i \text{ is the best}\right)
\\
&= \left( \sum_{i=1}^{r-1} 0 \times \frac{1}{n} \right)
+ \left( \sum_{i=r}^{n} P\left( \left.
\begin{array}{l}
\text{the best applicant among the first } i-1 \text{ applicants}
\\
\text{is among the first } r-1 \text{ applicants}
\end{array} \right|  \text{applicant } i \text{ is the best} 
\right) \times \frac{1}{n} \right)
\\
&= \sum_{i=r}^{n} \frac{r-1}{i-1} \times \frac{1}{n}
\quad=\quad \frac{r-1}{n} \sum_{i=r}^{n} \frac{1}{i-1}.
\end{align}


求和符号内概率的计算是基于:如果应聘者 i 是(所有应聘者中的)最佳人选,他被选中当且仅当头 i - 1 个应聘者中的最佳人选处在头 r - 1 个被拒绝的应聘者中。令 n 趋近无穷大,把 x 表示为 r/n 的极限,令 ti/ndt1/n,总和可以近似为如下积分:


P(x)=x \int_{x}^{1}\frac{1}{t}\,dt = -x \log(x).

令 P(x) 对 x 的导数为 0,解出 x,我们得到最优的 x 等于 1/e。从而,当 n 增大时,最优截断值趋近于 n/e 最佳人选被选中的概率为 1/e

对于较小的 n 值, 最优的 r 也可以通过动态规划方法得到。下表给出了一些最优的 r 值:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
r 1 1 2 2 3 3 3 4 4
P 1.000 0.500 0.500 0.458 0.433 0.428 0.414 0.410 0.406

此問題的变种[编辑]

  • 選擇者可選多於一人
  • 求職者的數目未知
  • 求職者之間的關係可影響選擇
  • 被拒絕的求職者有一定機率能被叫回來
  • 選擇者滿足於次好的人

參考[编辑]

譯自本頁英文版

  • T. S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?" Statistical science, volume 4, pp.282-296. 1988.
  • 數學傳播第二卷第三期 : 海外學人相親記 [1]