雙積

在範疇論中，雙積是直積在預加法範疇中的推廣，它同時是範疇論意義下的積與上積。

定義

令 $\mathcal{C}$ 為預加法範疇，因而任兩個對象 A,B 間的態射集 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$ 是交換群。給定有限個對象 $A_1, \ldots, A_n$，假設有：

• 對象 A，通常表作 $A_1 \oplus \cdots \oplus A_n$。
• 態射 $p_k : A \to A_k$（稱為射影）
• 態射 $i_k: A_k \to A$（稱為內射）

並假設：

• $i_1 \circ p_1 + \ldots i_n \circ p_n = \mathrm{id}_A$
• $p_k \circ i_k = \mathrm{id}_{A_k}$
• $k \neq l \Rightarrow p_k \circ i_l = 0$

則稱 A 是 $A_1, \ldots, A_n$ 的雙積。

注意到若在定義中取 n = 0，則「空雙積」是一個對象 0，使得恆等映射是零映射。

例子

• 交換群範疇中存在雙積，此時的雙積即直和。
• 一個域或除環上的向量空間也有雙積，即向量空間的直和。

性質

• 如果空雙積存在，並且所有二元雙積 $A_1 \oplus A_2$ 存在，則所有雙積皆存在。
• 預加法範疇中的雙積同時是範疇意義下的積與上積，這是雙積一詞的由來。由此可導得空雙積是零對象。
• 反之，預加法範疇中的積或上積也帶有自然的雙積結構。