Andrica猜想

(a) $A_{n}$對最初100個質數的值

(b) $A_{n}$對最初200個質數的值

(c) $A_{n}$對最初500個質數的值

Andrica猜想對最初(a)100個、(b)200個和(c)500個質數的圖像化證明。猜想的內容指稱，$A_{n}$總小於一。

Andrica猜想是一個以Dorin Andrica為名、關乎質數間的間隙的猜想。

這猜想認為，對於任意的$n$，下述不等式成立：

${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1$

其中$p_{n}$是第$n$個質數。若$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$是第$n$個質數間隙，那Andrica猜想可表述如下：

$g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1$

實證證據

Imran Ghory用了大質數間隙的資料，證實了這猜想對大到$1.3002\times 10^{16}$的$n$都成立。利用最大質數間隙（maximal gap）和質數間隙不等式，可將此結果推廣到大到$4\times 10^{18}$的$n$之上。

離散方城$A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$呈遞減，其中$A_{n}$的「高水位」標記，出現在$n=1,2,4$之處，其中$A_{4}\sim 0.670873...$，而對於最初的$10^{5}$個質數而言，沒有比這更大的值。由於$A_{n}$這方程對$n$呈現非病態遞減之故，因此若要在$n$不斷變大的情況下使得這個差變大，一個不斷增長的質數間隙是必要的。故這猜想非常可能是正確的，但目前還沒有證明。

推廣

廣義Andrica猜想對最初100個質數的x的值，並標出x的最小可能解$x_{min}$的推測位置。

Andrica猜想的推廣會論及以下等式：

$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,$

其中$p_{n}$是第$n$個質數，而x是任意正實數。

易證x的最大可能解出現於$n=1$處，在此處，$x_{max}=1$；而有猜想認為，x的最小可能解出現於$n=30$處，在此處，$x_{min}\sim 0.567148...$。（OEIS數列A038458）

這猜想也可以不等式表述，因此廣義Andrica猜想可表述如下：

對於$x<x_{\min }$而言，$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1$

參見

• 克拉梅爾猜想
• 勒讓德猜想
• Firoozbakht猜想

參考和註解

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 

外部連結

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
• 埃里克·韦斯坦因. Andrica's Conjecture. MathWorld.