綜合除法

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定義[編輯]

綜合除法是一種簡便的多項式除法,它只需加、乘兩種運算便可算出一元多項式除以一次多項式(x-a)的商式與餘數。

被除數[編輯]

被除數的未知數應是降冪排列,抽取係數用以計算,但若題目的被除數出現 ,降冪次數中沒有3,則在演算的過程中在該係數的位置上補上0,然後如常計算。

除數[編輯]

除數中的未知數前的係數有時並不一定會是1,當出現別的係數時,如:3x – 2中的3,我們會把它變做3 (x - 2/3) ,同樣以 -2/3 來計算,但當得出結果的時候除餘式外全部除以該係數。

∴ Ans:商式Q = 2a2 - 2a + 7

餘式R = 8

注意:演算時,須緊記末項是餘式之係數,即原被除式末項文字之係數。商式之首項文字必較原被除式之首項文字次數少1,餘依齊次式類推。

計算過程[編輯]

設被除式為

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

設除式為

Q(x)=x-r\,\!

設商為

R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

另外有一個餘數s

1. 分離P(x)的係數,按降冪寫下,再把 r 寫在左邊,像這樣:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |                                    

2. 把最左邊的係數(an)直接拖下來,它就是商的最高次項係數:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

3. 把下邊的最右邊一個數乘上r,寫到行上邊的右邊一位:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

4. 上下兩數相加,寫到這一列的行下:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)
    |
    |      = bn-1     = bn-2                                
    |

5. 重複第3,4步,直到沒有剩下的數了:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r       ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)   ...       a1+b1r       a0+b0r
    |
    |      = bn-1     = bn-2       ...       = b0        = s
    |

b的值是商(R(x))的係數,商的次數比被除式的次數少1。最後的s是餘數。