龙格-库塔法

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数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta methods)是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

经典四阶龙格库塔法[编辑]

在各種龙格-库塔法當中有一個方法十分常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格-库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息,利用计算机仿真时应用,省去求解微分方程的复杂过程。

初值问题表述如下。

则,对于该问题的RK4由如下方程给出:

其中

这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均:

  • k1是时间段开始时的斜率;
  • k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值;
  • k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;
  • k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:

RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5,而总积累误差为h4阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。

显式龙格库塔法[编辑]

显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出

其中

(注意:上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义)。

要给定一个特定的方法,必须提供整数s(级数),以及系数 aij(对于1 ≤ j < is), bi(对于i = 1, 2, ..., s)和ci(对于i = 2, 3, ..., s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为Butcher tableau(得名自John C. Butcher):

0

龙格库塔法是自洽的,如果

如果要求方法的精度為p階,即截斷誤差為O(hp+1)的,则还有相应的条件。这些可以从截斷誤差本身的定义中导出。例如,一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。

例子[编辑]

RK4法处于这个框架之内。其表为:

0
1/2 1/2
1/2 0 1/2
1 0 0 1
1/6 1/3 1/3 1/6

然而,最简单的龙格-库塔法是(更早发现的)欧拉方法,其公式為。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为:

0
1


隐式龙格库塔方法[编辑]

以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格库塔方法,一般而言,隐式龙格库塔方法具有以下形式:

其中

在显式龙格库塔方法的框架里,定义参数的矩阵是一个下三角矩阵,而隐式龙格库塔方法并没有这个性质,这是两个方法最直观的区别:

需要注意的是,与显式龙格库塔方法不同,隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程組,这相应的增加了计算的成本。

参考[编辑]

  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
  • Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)