查看“︁三角恒等式”︁的源代码

[[File:Unit-circle sin cos tan cot exsec excsc versin vercos coversin covercos.svg|360px|thumb|在几何上依据以''O''为中心的单位圆可以构造角θ的很多三角函数]]
{{函數圖形|title=三角函數示意圖|start=0|end=7.85|sampling=200|width=220|height=120|min=-2|max=2
|0|sin(x)|cos(x)
|tan(range(x,-pi/2+0.463648,pi/2-0.463648))
|cot(range(x,+0.463648,pi-0.463648))
|sec(range(x,-pi/2+0.523599,pi/2-0.523599))
|csc(range(x,+0.523599,pi-0.523599))
|1-cos(x)
|tan(range(x,pi/2+0.463648,3*pi/2-0.463648))
|tan(range(x,3*pi/2+0.463648,5*pi/2-0.463648))
|cot(range(x,pi+0.463648,2*pi-0.463648))
|cot(range(x,2*pi+0.463648,3*pi-0.463648))
|sec(range(x,pi/2+0.523599,3*pi/2-0.523599))
|sec(range(x,3*pi/2+0.523599,5*pi/2-0.523599))
|csc(range(x,pi+0.523599,2*pi-0.523599))
|csc(range(x,2*pi+0.523599,3*pi-0.523599))
|colors=#000000,#FF0000,#0000FF,#D3B68D,#FF8D00,#008C8C,#FFC1CC,#008100,#D3B68D,#D3B68D,#FF8D00,#FF8D00,#008C8C,#008C8C,#FFC1CC,#FFC1CC
|1 name=x axis|9 name=_|10 name=_|11 name=_|12 name=_|13 name=_|14 name=_|15 name=_
|4 name=tan(x)|5 name=cot(x)|6 name=sec(x)|7 name=csc(x)|8 name=vers(x)
|inner height=155px
|caption=幾個三角函數的圖形，分別為正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割和正矢。配色與上圖相同}}
[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|[[单位圆]]的角度]]
{{三角学}}
在[[数学]]中，'''三角恒等式'''是对出现的所有值都为[[實數|實变量]]，涉及到[[三角函数]]的等式。这些[[恒等式]]在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的[[积分]]：一个常用技巧是首先使用[[三角换元法|使用三角函数的代换规则]]，则通过三角恒等式可简化结果的积分。

== 符号 ==

为了避免由于<math>\sin^{-1}x</math>的不同意思所带来的混淆，我們經常用下列兩個表格來表示[[三角函数]]的[[倒数]]和[[反函数]]。另外在表示[[余割函数]]時，'<math>\csc</math>'有时會寫成比較长的'<math>\mathrm{cosec}</math>'。

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
!colspan="3"|函数
!colspan="3"|[[反函數]]
!colspan="3"|[[倒数]]
|-
!中文!!全寫!!簡寫
!中文!!全寫!!簡寫
!中文!!全寫!!簡寫
|-
|[[正弦]]||sine||[[正弦|sin]]
|[[反正弦]]||arcsine||[[arcsin]]
|[[餘割]]||cosecant ||[[餘割|csc]]
|-
|[[餘弦]]||cosine||[[餘弦|cos]]
|[[反餘弦]]||arccosine||[[arccos]]
|[[正割]]||secant||[[正割|sec]]
|-
|[[正切]]||tangent||[[正切|tan]]
|[[反正切]]||arctangent||[[arctan]]
|[[餘切]]||cotangent||[[餘切|cot]]
|-
|[[餘切]]||cotangent||[[餘切|cot]]
|[[反餘切]]||arccotangent||[[arccot]]
|[[正切]]||tangent||[[正切|tan]]
|-
|[[正割]]||secant||[[正割|sec]]
|[[反正割]]||arcsecant||[[arcsec]]
|[[餘弦]]||cosine||[[餘弦|cos]]
|-
|[[餘割]]||cosecant||[[餘割|csc]]
|[[反餘割]]||arccosecant||[[arccsc]]
|[[正弦]]||sine||[[正弦|sin]]
|}

不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。另外在計算機中角度的符號為D，弧度的符號為R，梯度的符號為G。

{|class = "wikitable" width=55% style="text-align: center; vertical-align: middle"
|+ 相同角度的轉換表
! 角度單位 !! colspan=8 | 值
!計算機中代號
|-
! [[轉 (角)|轉]]
| <math>0</math>
| <math>\frac{1}{12}</math>
| <math>\frac{1}{8}</math>
| <math>\frac{1}{6}</math>
| <math>\frac{1}{4}</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{3}{4}</math>
| <math>1</math>
|無
|-
! [[角度]]
| <math>0^{\circ}</math>
| <math>30^{\circ}</math>
| <math>45^{\circ}</math>
| <math>60^{\circ}</math>
| <math>90^{\circ}</math>
| <math>180^{\circ}</math>
| <math>270^{\circ}</math>
| <math>360^{\circ}</math>
|D
|-
! [[弧度]]
| <math>0</math> 
| <math>\frac{\pi}{6}</math>
| <math>\frac{\pi}{4}</math>
| <math>\frac{\pi}{3}</math>
| <math>\frac{\pi}{2}</math>
| <math>\pi</math>
| <math>\frac{3\pi}{2}</math>
| <math>2\pi</math>
|R
|-
! [[梯度 (角)|梯度]]
| <math>0^g</math>
| <math>33\frac{1}{3}^g</math>
| <math>50^g</math>
| <math>66\frac{2}{3}^g</math>
| <math>100^g</math>
| <math>200^g</math>
| <math>300^g</math>
| <math>400^g</math>
|G
|}

== 基本關係 ==
[[File:三角函數間的關係.tiff|thumb|三角函數間的關係，可分成{{vanchor|正函數}}和[[餘函數]]]]
畢達哥拉斯三角恒等式如下：
{| class=wikitable
|-
| <math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,</math>
|-
| <math>\tan^2 \theta + 1\, = \sec^2 \theta</math>
|-
| <math>1\, + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta</math>
|}
由上面的平方關係加上三角函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個三角函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）

{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
! 函數
! <math>\sin</math>
! <math>\cos</math>
! <math>\tan</math>
! <math>\cot</math>
! <math>\sec</math>
! <math>\csc</math>
|-
! <math>\sin \theta </math>
| <math> \sin \theta\ </math>
| <math> \sqrt{1 - \cos^2\theta} </math>
| <math> \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}} </math>
| <math> \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta} </math>
| <math> \frac{1}{\csc \theta} </math>
|-
! <math>\cos \theta </math>
| <math> \sqrt{1 - \sin^2\theta} </math>
| <math> \cos \theta\ </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} </math>
| <math> \frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}} </math>
| <math> \frac{1}{\sec \theta} </math>
| <math> \frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta} </math>
|-
! <math>\tan \theta </math>
| <math> \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math>
| <math> \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} </math>
| <math> \tan \theta\ </math>
| <math> \frac{1}{\cot \theta} </math>
| <math> \sqrt{\sec^2\theta - 1} </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}} </math>
|-
! <math>\cot \theta </math>
| <math> {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta} </math>
| <math> {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}} </math>
| <math> {1 \over \tan\theta} </math>
| <math> \cot\theta\ </math>
| <math> {1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} </math>
| <math> \sqrt{\csc^2\theta - 1} </math>
|-
! <math>\sec \theta </math>
| <math> {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math>
| <math> {1 \over \cos \theta} </math>
| <math> \sqrt{1 + \tan^2\theta} </math>
| <math> {\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta} </math>
| <math>\sec\theta\ </math>
| <math> {\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}} </math>
|-
! <math>\csc \theta </math>
| <math> {1 \over \sin \theta} </math>
| <math> {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}} </math>
| <math> {\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta} </math>
| <math> \sqrt{1 + \cot^2 \theta} </math>
| <math> {\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} </math>
| <math> \csc \theta\ </math>
|}
=== 其他函數的基本關係 ===
[[正矢]]、[[餘矢]]、[[半正矢]]、[[半餘矢]]、[[外正割]]用於航行。例如[[半正矢]]可以計算球體上的兩個點之間的距離，但它們不常用。

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
|-
! 名稱
! 函數
! 值<ref>Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147</ref>
|-
|  [[正矢]], versine 
||<math>\operatorname{versin}\theta</math><br /><math>\operatorname{vers}\theta</math><br /><math>\operatorname{ver}\theta</math>
||<math>1 - \cos\theta</math>
|-
|  餘的[[正矢]], vercosine
||<math>\operatorname{vercosin}\theta</math>
||<math>1 + \cos \theta</math>
|-
|  [[餘矢]], coversine
||<math>\operatorname{coversin}\theta</math><br /><math>\operatorname{cvs}\theta</math>
||<math>1 - \sin\theta</math>
|-
|  餘的[[餘矢]], covercosine
||<math>\operatorname{covercosin}\theta</math>
||<math>1 + \sin\theta</math>
|-
|  [[半正矢]], haversine
||<math>\operatorname{haversin}\theta</math>
||<math>\frac{1 - \cos \theta}{2}</math>
|-
|  餘的[[半正矢]], havercosine
||<math>\operatorname{havercosin}\theta</math>
||<math>\frac{1 + \cos \theta}{2}</math>
|-
| [[半餘矢]], hacoversine<br />cohaversine
||<math>\operatorname{hacoversin}\theta</math>
||<math>\frac{1 - \sin \theta}{2}</math>
|-
| 餘的[[半餘矢]], hacovercosine<br />cohavercosine
||<math>\operatorname{hacovercosin}\theta</math>
||<math>\frac{1 + \sin \theta}{2}</math>
|-
| [[外正割]]，exsecant
|<math>\operatorname{exsec}\theta</math>
|<math>\sec\theta - 1</math>
|-
| [[外餘割]]，excosecant
|<math>\operatorname{excsc}\theta</math>
|<math>\csc\theta - 1</math>
|-
| [[弦函數]], chord
|<math>\operatorname{crd}\theta</math>
| <math>2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>
|-
|[[純虛數指數函數]], <br />cosine and imaginary unit sine
|<math>\operatorname{cis}\theta</math>
| <math>\cos \theta + i\;\sin \theta</math>
|-
|[[輻角]],Argument
|<math>\arg x</math>
| <math>\operatorname{Im}(\ln x)</math>
|}

== 對稱、移位和周期 ==

通過檢視[[单位圆|單位圓]]，可確立三角函數的下列性質，這些性質也被稱為'''誘導公式'''：

{{Sister project links|诱导公式| | wikt=no
 | n=no
 | q=no
 | s=no
 | b=yes
 | v=no
 | voy=no
 | d=no
 | m=no
 | mw=no
 | species=no
|commons=no}}
=== 對稱 ===
當三角函数反射自某个特定的<math>\theta</math>值，結果經常是另一个其他三角函數。這導致了下列恆等式：
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! 反射於<math>\theta=0</math>
! 反射於<math>\theta= \tfrac{\pi}{4}</math>
! 反射於<math>\theta= \tfrac{\pi}{2}</math>
! 反射於<math>\theta= \tfrac{3\pi}{4}</math>
|-

|<math>
\begin{align}
\sin(0-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(0-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(0-\theta) &= -\tan \theta \\
\cot(0-\theta) &= -\cot \theta \\
\sec(0-\theta) &= +\sec \theta \\
\csc(0-\theta) &= -\csc \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\cos \theta \\
\cos(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\sin \theta \\
\tan(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\cot(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \\
\sec(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\csc \theta \\
\csc(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\sec \theta 
\end{align}
</math>
|}
=== 移位和周期 ===

通過旋轉特定角度移位三角函數，經常可以找到更簡單的表達结果的不同的三角函數。例如通過旋轉<math>\tfrac{\pi}{2}</math>、<math>\pi</math>和<math>2\pi</math>弧度移位函數。因爲這些函數的周期要麼是<math>\pi</math>要麼是<math>2\pi</math>，所以新函數和沒有移位的舊函數完全一樣。

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! rowspan="2" |移位<math>\tfrac{\pi}{2}</math>
!移位<math>\pi</math> 
! rowspan="2" |移位<math>\tfrac{3\pi}{2}</math>
!移位<math>2\pi</math> 
|-
!<math>\tan</math>和<math>\cot</math>的周期
!<math>\sin</math>, <math>\cos</math>, <math>\csc</math>和<math>\sec</math>的周期
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= +\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\tan \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= +\csc \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\sec \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta 
\end{align}
</math>
|}


== 角的和差恆等式 ==
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|thumb|225px|正弦與餘弦的角和公式的圖形證明法。使用了相似三角形的性質與三角函數的定義，強調的線段是單位長度]]
[[File:AngleAdditionDiagramTangent.svg|thumb|225px|正切的角和公式的圖形證明法。使用了相似三角形的性質與三角函數的定義，強調的線段是單位長度。]]
又稱做“和差定理”、“和差公式”或“和角公式”。最簡要的檢定方式是使用[[欧拉公式#檢定和角公式|歐拉公式]]{{NoteTag|1=由于[[欧拉公式]]的证明过程中使用了[[棣莫弗公式]]，而棣莫弗公式的证明过程中使用了和角公式，故使用欧拉公式证明和角公式会造成[[循环论证]]，故而此方法僅为檢定方法，而非严谨的证明方法。对于类似方法也应注意甄别。}}。
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!正弦
|<math>\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\,</math>
|-
!余弦
|<math>\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\,</math>
|-
!正切
|<math>\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}</math>
|-
!余切
|<math>\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}</math>
|-
!正割
|<math>\sec(\alpha\pm\beta)=\frac{\sec\alpha\sec\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}</math> 
|-
!余割
|<math>\csc(\alpha\pm\beta)=\frac{\csc\alpha\csc\beta}{\cot\beta\pm\cot\alpha}</math>
|-
|colspan="2"|注意正負號的對應。
<math>\begin{align}x \pm y = a \pm b &\Rightarrow \ x + y = a + b \\ &\mbox{and} \ x -y = a -b \end{align}</math><br /><math>\begin{align}
x \pm y = a \mp b &\Rightarrow \ x + y = a - b \\ &\mbox{and}\  x - y = a + b\end{align}</math>
|}
根据<math>sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>，以及和差恒等式，可以得到同角的正弦余弦的和差关系，例如，
: <math> \sin\alpha+\cos\alpha
=\sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha\right)
=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) 
=\sqrt{2}\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) </math>

: <math> \sin\alpha-\cos\alpha
=\sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha\right)
=\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) 
=\sqrt{2}\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) </math>

=== 正弦與余弦的無限多項和 ===

: <math> \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{odd}\  k \ge 1} (-1)^{\frac{k-1}{2}}
\sum_{ |A| = k }
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

: <math> \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{even}\  k \ge 0} ~ (-1)^{\frac{k}{2}} ~~
\sum_{ |A| = k }
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

這里的"<math>|A|=k</math>"意味著索引<math>A</math>遍歷集合<math>\left \{ 1,2,3,\ldots \right \}</math>的大小為<math>k</math>的所有子集的集合。 

在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称：在每个乘积中，只有有限多个正弦因子和[[餘有限]]多个余弦因子。

如果只有有限多项<math>\theta_i</math>是非零，则在右边只有有限多项是非零，因为正弦因子将变为零，而在每个项中，所有却有限多的余弦因子将是单位一。

=== 正切的有限多项和 ===

设<math>x_i=\tan\theta_i</math>，对于<math>i=1,\ldots,n</math>。设<math>e_k</math>是变量<math>x_i</math>，<math>i=1,\ldots,n</math>，<math>k=0,\ldots,n</math>的''<math>k</math>''次[[基本对称多项式]]。则

: <math>\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}, </math>

项的数目依赖于<math>n</math>。例如，
:<math> \begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\  \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\  \\
&{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align} </math>

并以此类推。一般情况可通过[[数学归纳法]]证明。

== 多倍角公式 ==
{|class="wikitable"
!<math>T_n</math>是<math>n</math>次[[切比雪夫多项式]]
|<math>\cos n\theta =T_n \cos \theta \,</math>
|-
!<math>S_n</math>是''<math>n</math>''次[[伸展多项式]]
|<math>\sin^2 n\theta = S_n \sin^2\theta\,</math>
|-
![[棣莫弗定理]]，<math>i</math>是[[虚单位]]
|<math>\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos\theta+i\sin\theta)^n \,</math>
|}

:<math>1+2\cos x + 2\cos 2x + 2\cos 3x + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left[\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right]}{\sin \frac{x}{2}}</math>。

（這個<math>x</math>的函數是[[狄利克雷核]]。）

=== 雙倍角、三倍角和半角公式 ===
這些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;" width="100%"
!colspan=2|
!弦!!切!!割
|-
! rowspan=2| {{vanchor|雙倍角公式|二倍角公式}}
!正
| <math>\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\tan 2\theta &= \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta} \ \\ &= \frac{1}{1-\tan\theta}-\frac{1}{1+\tan\theta}\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\sec 2\theta &= \frac{\sec^2\theta}{1-\tan^2\theta} \\ &= \frac{\sec^2\theta}{2-\sec^2\theta}\end{align}</math>
|-
!餘
|<math>\begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ 
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\cot 2\theta &= \frac{\cot^2 \theta-1} {2 \cot \theta} \\ &= \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
\csc 2\theta &= \frac{\csc^2\theta}{2\cot\theta} \\ &= \frac{\sec\theta\csc\theta}{2}
\end{align}</math>
|-
! rowspan=2| 降次公式
!正
|<math>\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}</math>
|<math>\tan^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}</math>
|
|-
!餘
|<math>\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}</math>
|<math>\cot^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{1-\cos 2\theta}</math>
|
|-
! rowspan=2| {{vanchor|三倍角公式}}
!正
|<math>\begin{align}\sin 3\theta &= 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \\ 
&=4\sin \theta \sin \left ( \frac{\pi}{3}-\theta  \right ) \sin \left ( \frac{\pi}{3}+\theta  \right )\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\tan 3\theta &= \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} \\
&=\tan \theta \tan \left ( \frac{\pi}{3}-\theta  \right ) \tan \left ( \frac{\pi}{3}+\theta  \right )\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\sec 3\theta &=\frac{\sec^3\theta}{4-3 \sec^2\theta} \\
&= \dfrac{1}{4\cos \theta \cos \left ( \dfrac{\pi}{3}-\theta  \right ) \cos \left ( \dfrac{\pi}{3}+\theta  \right )}\end{align}</math>
|-
!餘
|<math>\begin{align}\cos 3\theta &= 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \\ 
&=4\cos \theta \cos \left ( \frac{\pi}{3}-\theta  \right ) \cos \left ( \frac{\pi}{3}+\theta  \right )\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\cot 3\theta &=\frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3 \cot^2\theta-1} \\
&=\cot \theta \cot \left ( \frac{\pi}{3}-\theta  \right ) \cot \left ( \frac{\pi}{3}+\theta  \right )\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\csc 3\theta &=\frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4} \\
&= \dfrac{1}{4\sin \theta \sin \left ( \dfrac{\pi}{3}-\theta  \right ) \sin \left ( \dfrac{\pi}{3}+\theta  \right )}\end{align}</math>
|-
! rowspan=2| {{vanchor|半角公式}}
!正
|<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}</math>
|<math>\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ &= \frac{\cos \theta+\sin \theta-1}{\cos \theta-\sin \theta+1} \\ &= \sqrt{\cot^2\theta+1}-\cot \theta \end{align}</math>
|<math>\sec \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{2\sec\theta}{\sec\theta + 1}}</math>
|-
!餘
|<math>\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>
|<math>\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos\theta}{\sin \theta}\\ &= \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} \\ &= \sqrt{\cot^2\theta+1}+\cot \theta \end{align}</math> 
|<math>\csc \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{2\sec\theta}{\sec\theta - 1}}</math>
|}

=== n倍角公式 ===
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
|-
!colspan="2"|<math>n</math>倍角公式
|-
|<math>\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left[\frac{1}{2}(n-k)\pi\right]
=\sin \theta \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}(-1)^k \binom{n-1-k}{k}~(2\cos \theta)^{n-1-2k}</math>
（第二类[[切比雪夫多项式]]）
|-
|<math>\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left[\frac{1}{2}(n-k)\pi\right]
=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}(-1)^k \frac{n}{n-k} \binom{n-k}{k}~(2\cos \theta)^{n-2k}</math>
（第一类[[切比雪夫多项式]]）
|-
|<math>\tan n\theta = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2k-1} \tan^{2k-1}\theta}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2(k-1)} \tan^{2(k-1)}\theta}</math>
|-
!colspan="2"|<math>n</math>倍遞迴公式
|-
|<math>\tan\,n\theta = \frac{\tan (n{-}1)\theta + \tan \theta}{1 - \tan (n{-}1)\theta\,\tan \theta}</math>、<math>\cot\,n\theta = \frac{\cot (n{-}1)\theta\,\cot \theta - 1}{\cot (n{-}1)\theta + \cot \theta}</math>。([[遞迴關係]])
|}
参见[[正切半角公式]]，它也叫做“万能公式”。

=== 其他函數的倍半角公式 ===
;正矢
*<math>\operatorname{versin} 2\theta = 2\sin^2\theta=\frac{(\sin 2\theta)(\sin\theta)}{\cos\theta}=1-\cos 2\theta</math>
;餘矢
*<math>\operatorname{cvs} 2\theta = (\sin\theta-\cos\theta)^2=1-\sin 2\theta</math>

== 幂简约公式 ==
从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
![[正弦]]
![[餘弦]]
!其他
|-
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}</math>
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}</math>
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}</math>
|-
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}</math>
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}</math>
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}</math>
|-
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}</math>
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}</math>
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}</math>
|-
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}</math>
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}</math>
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}</math>
|}



{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! 
![[餘弦]]
![[正弦]]
|-
!如果<math>n</math>是[[奇數]]
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{[(n-2k)\theta]}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \sin{[(n-2k)\theta]}</math>
|-
!如果<math>n</math>是[[偶數]]
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{[(n-2k)\theta]}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\left(\frac{n}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \cos{[(n-2k)\theta]}</math>
|-
|}

== 数值连乘 ==
:<math>\prod_{k=0}^{n-1}\cos 2^k\theta = \frac{\sin2^n \theta}{2^n\sin\theta}</math><ref name="sjcj">{{cite journal|author=苏学孟|year=1995|title=求三角函数乘积的常用方法|journal=中学数学教学|issue=6|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZSJX199506013.htm|access-date=2014-12-27|archive-date=2014-12-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20141227031307/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZSJX199506013.htm|dead-url=no}}</ref>

:<math>\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin nx}{2^{n-1}}</math><ref name="sjcj"/>

:<math>\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}</math>,<math>\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}</math>,<math>\prod_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}</math>

:<math>\prod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{2^{n-1}}</math>,<math>\prod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}</math>,<math>\prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{1}{2^n}</math>

:<math>\prod_{k=1}^{n-1}\tan\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin \frac{n\pi}{2}}</math>,<math>\prod_{k=1}^{n-1}\tan\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = 1</math>,<math>\prod_{k=1}^n \tan\frac{k\pi}{2n+1} = \sqrt{2n+1}</math>

== 常見的恆等式 ==
=== 积化和差与和差化积恆等式 ===

數學家[[弗朗索瓦·韦达|韋達]]在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

[[File:Proof for Sum-to-Product Identities.svg|right|无框]]
{|class="wikitable"
!积化和差 !! 和差化积
|-
|<math>\sin\alpha\cos\beta={\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\over2}</math>
|<math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
|-
|<math>\cos\alpha\sin\beta={\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\over2}</math>
|<math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos{\alpha+\beta\over2}\sin{\alpha-\beta\over2}</math>
|-
|<math>\cos\alpha\cos\beta={\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\over2}</math>
|<math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
|-
|<math>\sin\alpha\sin\beta=-{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\over2}</math>
|<math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin{\alpha+\beta\over2}\sin{\alpha-\beta\over2}</math>
|}

=== 平方差公式 ===

<math>\sin(x+y)\sin(x-y) = \sin^2 {x} - \sin^2 {y} = \cos^2 {y} - \cos^2 {x}\,</math>

<math>\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2 {x} - \sin^2 {y} = \cos^2 {y} - \sin^2 {x}\,</math>

(可藉由積化和差公式+2倍角公式推導而來)

=== 其他恆等式 ===
:如果<math>x + y + z =n \pi</math>，
::那么<math>\tan x + \tan y + \tan z = \tan x\tan y\tan z</math>
:::<math>\cot x\cot y + \cot y\cot z + \cot z\cot x = 1</math>

:如果<math>x + y + z =n \pi + \frac{\pi}{2}</math>，
::那么<math>\tan x\tan y + \tan y\tan z + \tan z\tan x = 1</math>
:::<math>\cot x + \cot y + \cot z = \cot x\cot y\cot z</math>

:如果<math>x + y + z = \pi</math>，
::那么<math>\sin 2x + \sin 2y + \sin 2z = 4\sin x\sin y\sin z</math>
:::<math>\sin x + \sin y + \sin z = 4\cos \frac{x}{2}\cos \frac{y}{2}\cos \frac{z}{2}</math>
:::<math>\cos x + \cos y + \cos z = 1+ 4\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}</math>

==== 托勒密定理 ====
:如果<math>w + x + y + z = \pi</math>（半圆）
:那么:
::<math>\begin{align}
\sin(w + x)\sin(x + y) &=\sin(x + y)\sin(y + z) \\
&= \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) \\

&{} = \sin w \sin y + \sin x \sin z
\end{align}</math>

（前三个等式是一般情况；第四个是本质。）

==三角函數與雙曲函數的恆等式==
利用[[三角恒等式#指数定义|三角恒等式的指數定義]]和[[雙曲函數恆等式#指數定義|雙曲函數的指數定義]]即可求出下列恆等式：

<math>e^{i x} = \cos x + i \;\sin x , \; e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x</math>

<math>e^x = \cosh x + \sinh x\! , \; e^{-x} = \cosh x - \sinh x \!</math>

所以

<math>\cosh ix = \tfrac12(e^{i x} + e^{-i x}) = \cos x</math>

<math>\sinh ix = \tfrac12(e^{i x} - e^{-i x}) = i \sin x</math>

下表列出部分的[[三角函數]]與[[雙曲函數]]的[[恆等式]]：

{| class=wikitable
![[三角函數]]
![[雙曲函數]]
|-
|<math>\sin \theta =-i\sinh{i\theta}\,</math>
|<math>\sinh{\theta}=i\sin{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\cos{\theta}=\cosh{i\theta}\,</math>
|<math>\cosh{\theta}=\cos{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\tan \theta =-i\tanh{i\theta}\,</math>
|<math>\tanh{\theta}=i\tan{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\cot{\theta}=i\coth{i\theta}\,</math>
|<math>\coth \theta =-i\cot{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\sec{\theta}=\operatorname{sech}{\,i\theta}\,</math>
|<math>\operatorname{sech}{\theta}=\sec{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\csc{\theta}=i\;\operatorname{csch}{\, i\theta}\,</math>
|<math>\operatorname{csch} \theta =-i\csc{(-i\theta)}\,</math>
|}

*其他恆等式：
:<math>\cosh ix = \tfrac12(e^{i x} + e^{-i x}) = \cos x</math>

:<math>\sinh ix = \tfrac12(e^{i x} - e^{-i x}) = i \sin x</math>

:<math>\cosh(x+iy) = \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \,</math>

:<math>\sinh(x+iy) = \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \,</math>

:<math>\tanh ix = i \tan x \,</math>

:<math>\cosh x = \cos ix \,</math>

:<math>\sinh x = -i \sin ix \,</math>

:<math>\tanh x = -i \tan ix \,</math>

== 线性组合 ==
对于某些用途，知道同样周期但不同[[相位|相位移动]]的正弦波的任何[[线性组合]]是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下，我们有

:<math>a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\;(a>0)</math>

这里的

:<math>\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right)</math>

这个公式也叫辅助角公式或[[李善兰]]公式。更一般的说，对于任何相位移动，我们有

:<math>a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\;(a+b\cos x>0)</math>

这里

:<math>
  c = \sqrt{a^2 + b^2 +2ab\cos \alpha},</math>

而

:<math>
  \beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a+b\cos \alpha}\right)
</math>

== 反三角函数 ==
{{main|反三角函数}}
:<math> \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}\;</math>

:<math> \arctan x+\arccot x=\frac{\pi}{2}.\;</math>

:<math>\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{2}, & \mbox{if }x > 0 \\  -\frac{\pi}{2}, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.</math>

:<math>\arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-xy}+\left\{\begin{matrix} \pi, & \mbox{if }x,y>0 \\ -\pi, & \mbox{if }x,y<0 \\ 0, & \mbox{otherwise } \end{matrix}\right.</math>

{{col-start}}
{{col-2}}
:<math>\sin ( \arccos x)=\sqrt{1-x^2} \,</math>
:<math>\sin ( \arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
:<math>\cos ( \arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
{{col-2}}
:<math>\cos ( \arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \,</math>
:<math>\tan ( \arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
:<math>\tan ( \arccos x)=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
{{col-end}}

== 无限乘积公式 ==
为了用于[[特殊函数]]，有下列三角函数[[無窮乘積]]公式<ref>Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90</ref><ref>Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69</ref>：
{{col-start}}
{{col-2}}
: <math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)</math>
{{col-2}}
: <math>\cos x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>

: <math>\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>

: <math>|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}</math>
{{col-end}}

== 微積分 ==
{{函數圖形|title=正弦的微分|start=0|end=6.28|sampling=200|width=200|height=100|min=-1.5|max=1.5
|sin(x)|sin(x)|calc diff 2=1
|caption=正弦（藍色）、正弦的微分（橘色），其中，正弦的微分正好是餘弦。}}
{{函數圖形|title=餘弦的微分|start=0|end=6.28|sampling=200|width=200|height=100|min=-1.5|max=1.5
|cos(x)|cos(x)|calc diff 2=1
|caption=餘弦（藍色）、餘弦的微分（橘色），其中，餘弦的微分正好是正弦的對x軸的鏡射。}}
在[[微積分]]中，下面陳述的關係要求角用[[弧度]]來度量；如果用其他方式比如[[角度]]來這些關係會變得更加複雜。如果三角函數以幾何的方式來定義，它們的導數可以通過驗證兩個極限而找到。第一個是：
:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1</math>
可以使用[[單位圓]]和[[夾擠定理]]來驗證。如果用[[洛必達法則]]來证明這個極限，那也就用這個極限證明了正弦的导数是餘弦，並因此在應用洛必達法則中使用正弦的導數是餘弦的事實，就是邏輯謬論中的循環論證了。第二個極限是：

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x}=0</math>

使用恆等式<math>\tan\frac{x}{2}=1-\frac{\cos x}{\sin x}</math>驗證。已經確立了這兩個極限，你可以使用導數的極限定義和加法定理來證明<math>\sin 'x=\cos x</math>和<math>\cos 'x=-\sin x</math>。如果正弦和餘弦函數用它們的[[泰勒級數]]來定義，則導數可以通過冪級數逐項微分得到。

:<math>{d \over dx}\sin(x) = \cos(x)</math>

結果的三角函數可以使用上述恆等式和[[微分]]規則來做微分。

:<math>
\begin{align}
{d \over dx} \sin x &= \cos x         ,& {d \over dx} \arcsin x &={1 \over \sqrt{1 - x^2}     } \\  \\
{d \over dx} \cos x &= -\sin x        ,& {d \over dx} \arccos x &=-{1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \tan x &= \sec^2 x       ,& {d \over dx} \arctan x &={ 1 \over 1 + x^2}            \\  \\
{d \over dx} \cot x &= -\csc^2 x      ,& {d \over dx} \arccot x &=-{1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \sec x &= \tan x \sec x  ,& {d \over dx} \arcsec x &={ 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}   \\  \\
{d \over dx} \csc x &= -\csc x \cot x ,& {d \over dx} \arccsc x &=-{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}
</math>

在[[三角函數積分表]]中可以找到積分恆等式。

=== 蘊涵 ===
三角函數（正弦和餘弦）的微分是同樣兩個函數[[線性組合]]的事實在很多數學領域包括[[微分方程]]和[[傅立葉變換]]中是重要的基本原理。

==指数定义==
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
!函数
!反函数

|-
|[[正弦|<math>\sin \theta = \frac{e^{{i}\theta} - e^{-{i}\theta}}{2{i}} \,</math>]]
|[[反正弦|<math>\arcsin x = -{i}\ln \left({i}x + \sqrt{1 - x^2}\right) \,</math>]]

|-
|[[餘弦|<math>\cos \theta = \frac{e^{{i}\theta} + e^{-{i}\theta}}{2} \,</math>]]
|[[反餘弦|<math>\arccos x = -{i}\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,</math>]]

|-
|[[正切|<math>\tan \theta = \frac{e^{{i}\theta} - e^{-{i}\theta}}{{i}(e^{{i}\theta} + e^{-{i}\theta})} \,</math>]]
|[[反正切|<math>\arctan x = \frac{i}{2}\ln \left(\frac{{i}+ x}{{i}- x}\right)\,</math>]]

|-
|[[餘割|<math>\csc \theta = \frac{2{i}}{e^{{i}\theta} - e^{-{i}\theta}} \,</math>]]
|[[反餘割|<math>\arccsc x = -{i}\ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,</math>]]

|-
|[[正割|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{{i}\theta} + e^{-{i}\theta}} \,</math>]]
|[[反正割|<math>\arcsec x = -{i}\ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,</math>]]

|-
|[[餘切|<math>\cot \theta = \frac{{i}(e^{{i}\theta} + e^{-{i}\theta})}{e^{{i}\theta} - e^{-{i}\theta}} \,</math>]]
|[[反餘切|<math>\arccot x = \frac{i}{2}\ln \left(\frac{{i}- x}{{i}+ x}\right) \,</math>]]
|-
!
!
|-
|[[cis函數|<math>\operatorname{cis} \, \theta = e^{{i}\theta} \,</math>]]
|<math>\operatorname{arccis} \, x =-{i} \ln x \,</math>
|-
!
!
|-
|[[雙曲正弦|<math id="雙曲正弦">\sinh \theta ={\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{2}}\,</math>]]
|<math>\operatorname{arcsinh} \, x = \ln \left( x \pm \sqrt{x^2 + 1}\right) \,</math>
|-
|[[雙曲餘弦|<math id="雙曲餘弦">\cosh \theta ={\frac {e^{\theta }+e^{-\theta }}{2}}\,</math>]]
|<math>\operatorname{arccosh} \, x = \ln \left( x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right) = \pm \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,</math>
|-
|<math id="雙曲正切">\tanh \theta ={\frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}}={\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{e^{\theta }+e^{-\theta }}}\,</math>
|<math>\operatorname{arctanh} \, x = \frac{1}{2}\ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \,</math>
|}

== 参见 ==
* [[余弦定理]]
* [[三角函数]]
* [[正弦定理]]
* [[正切定理]]
* [[中线长公式]]
* [[角平分线长公式]]
* [[雙曲函數恆等式]]
* [[三分之一角公式]]

== 註釋 ==
{{NoteFoot}}

== 參考文獻 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 来源 ===
{{ReflistH}}
* [https://web.archive.org/web/20060611152043/http://oregonstate.edu/~barnesc/documents/trigonometry.pdf A one-page proof] of many trigonometric identities using [[Euler's formula]]，by Connelly Barnes.
* [https://web.archive.org/web/20100215133127/http://mrnick.sinaman.com/naturemathf.pdf Useful Formulae] for Hong Kong Advanced Level Examination Pure Mathematics.
{{ReflistF}}

{{-}}
{{三角函數}}

[[Category:数学恒等式]]
[[Category:三角学]]