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[[File:3dpoly.svg|thumb|right|3维凸多面体。凸分析不仅包括欧氏空间凸子集的研究，还包含抽象空间上凸函数的研究。]]
'''凸分析'''是研究[[凸函数]]与[[凸集]]性质的[[数学]]分支，其应用称作[[凸优化]]，是[[最优化]]理论的子分支。

== 凸集 ==
{{main|凸集}}
某[[向量空间]]''X''的子集<math>C \subseteq X</math>，若满足下列任意一条等价条件，就称其是'''凸'''的（convex）：
#若<math>0 \leq r \leq 1</math>是实数，<math>x, y \in C</math>，则<math>r x + (1 - r) y \in C.</math><ref name="Rockafellar" />
#若<math>0 < r < 1</math>是实数，<math>x, y \in C,\ x \neq y,</math>则<math>r x + (1 - r) y \in C.</math>
[[Image:ConvexFunction.svg|thumb|300px|right|区间上的凸函数]]
{{main|凸函数}}

<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>始终是以[[扩展实数线]]<math>[-\infty, \infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}</math>为值域、以某向量空间的凸子集<math>\operatorname{domain} f = X</math>为[[定义域]]的映射。
映射<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>，若

:<math>f( r x + (1 - r) y ) \leq r f(x) + (1 - r) f(y)</math>（凸性<math>\le</math>）

对所有实数<math>0 < r < 1</math>、所有<math>x, y \in X,\ x \neq y</math>都成立，称映射''f''是'''凸函数'''。若此不等式被替换为严格不等式

:<math>f( r x + (1 - r) y ) < r f(x) + (1 - r) f(y)</math>（凸性<math><</math>）

对''f''仍成立，则称''f''是'''严格凸'''的。<ref name="Rockafellar" />
凸函数与凸集有关。特别地，当且仅当函数''f''的[[上图 (数学)|上图（epigraph）]]
[[Image:Epigraph convex.svg|right|thumb|300px|当且仅当函数（黑色）的上图（即[[函数图像]]上方区域，绿色）是[[凸集]]时，函数是凸的。]]
[[Image:Grafico 3d x2+xy+y2.png|right|300px|thumb|二元凸函数<math>x^2 + x y + y^2</math>的图像]]
:<math>\operatorname{epi} f := \left\{ (x,r) \in X \times \mathbb{R} ~:~ f(x) \leq r \right\}</math>
是凸集时，函数''f''是凸的。{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-28}}扩展实值函数的上图在凸分析中的作用类似于实值[[函数图像]]在[[实分析]]中的作用。特别地，扩展实值函数的上图提供了几何直觉，可用于形式化或证明猜想。

函数<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>的定义域记作<math>\operatorname{domain} f</math>，[[有效域]]则是集合{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-28}}
:<math>\operatorname{dom} f := \{ x \in X ~:~ f(x) < \infty \}.</math>

函数<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>，当且仅当<math>\forall x \in \operatorname{domain} f,\ f(x) > -\infty,\ \operatorname{dom} f \neq \varnothing</math>，称函数是[[真凸函数]]。{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-28}}这意味着在''f''的定义域中存在''x''使<math>f(x) \in \mathbb{R}</math>，''f''也永远不等于<math>f</math><math>-\infty</math>。换句话说，若函数的定义域非空、永远不取<math>-\infty</math>、不等于<math>+\infty</math>，则就是真凸函数。若<math>f : \mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]</math>是[[真凸函数]]，则存在向量<math>\vec b \in \mathbb{R}^n</math>、实数<math>r \in \mathbb{R}</math>使得
:<math>\forall x,\ f(x) \geq x \cdot b - r</math>

其中<math>x \cdot b</math>表示向量的[[点积]]。

== 凸共轭 ==
{{main|凸共轭}}
扩展实值函数<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>（不必凸）的凸共轭是来自''X''的（连续）[[对偶空间]]函数<math>f^* : X^* \to [-\infty, \infty]</math>{{sfn|Zălinescu|2002|pp=75-79}}

:<math>f^*\left(x^*\right) = \sup_{z \in X} \left\{ \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\}</math>

其中，括号<math>\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle</math>表示规范[[对偶系统|对偶性]]<math>\left\langle x^*, z \right\rangle := x^*(z)</math>。''f''的双共轭是映射<math>f^{**} = \left( f^* \right)^* : X \to [-\infty, \infty]</math>，定义为<math>\forall x\in X,\ f^{**}(x) := \sup_{z^* \in X^*} \left\{ \left\langle x, z^* \right\rangle - f\left( z^* \right) \right\}</math>
将''X''上的''Y''值函数记作<math>\operatorname{Func}(X; Y)</math>，则<math>f \mapsto f^*</math>定义的映射<math>\operatorname{Func}(X; [-\infty, \infty]) \to \operatorname{Func}\left( X^*; [-\infty, \infty] \right)</math>乘坐勒让德-芬切尔变换。

=== 次微分集与芬切尔-扬不等式 ===
若<math>x \in X,\ f : X \to [-\infty, \infty]</math>，则次微分集（subdifferential set）为

:<math>
\begin{alignat}{4}
\partial f(x)
:&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ f(z) \geq f(x) + \left\langle x^*, z - x \right\rangle \text{ for all } z \in X \right\} && (\text{“} z \in X \text{''} \text{ can be replaced with: } \text{“} z \in X \text{ such that } z \neq x \text{''}) \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \text{ for all } z \in X \right\} && \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \sup_{z \in X} \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\} && \text{ The right hand side is } f^*\left( x^* \right) \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) = f^*\left( x^* \right) \right\} && \text{ Taking } z := x \text{ in the } \sup{} \text{ gives the inequality } \leq. \\
\end{alignat}
</math>
例如，在<math>f = \| \cdot \|</math>是''X''上的范数这一重要特例中，可以证明<ref group=proof><math>X = \{ 0 \}</math>则结论是直接的（平凡），所以假设不这样（非平凡）。固定<math>x \in X</math>，将''f''换成范数，给出<math>\partial f(x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - \| x \| \geq \left\langle x^*, z \right\rangle - \| z \| \forall z \in X \right\}</math>。若<math>x^* \in \partial f(x),\ r \geq 0</math>是实数，则<math>z := r x</math>给出<math>\left\langle x^*, x \right\rangle - \| x \| \geq \left\langle x^*, r x \right\rangle - \| r x \| = r \left[ \left\langle x^*, x \right\rangle - \| x \| \right],</math>特别地取<math>r := 2</math>则有<math>x^*(x) \geq \| x \|</math>，而取<math>r := \frac1{2}</math>则有<math>x^*(x) \leq \| x \|</math>于是<math>x^*(x) = \| x \|</math>；若还<math>x \neq 0</math>则因<math>x^*\left(\frac{x}{\|x\|}\right) = 1,</math>由[[对偶范数]]的定义可知<math>\left\| x^* \right\| \geq 1.</math>由于<math>\partial f(x) \subseteq \left\{ x^* \in X^* ~:~ x^*(x) = \| x \| \right\},</math>其等价于<math>\partial f(x) = \partial f(x) \cap \left\{ x^* \in X^* ~:~ x^*(x) = \| x \| \right\},</math>可知<math>\partial f(x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ x^*(x) = \| x \| \text{ and } \| z \| \geq \left\langle x^*, z \right\rangle \text{ for all } z \in X \right\},</math>于是<math>\left\| x^* \right\| \leq 1,\ \forall x^* \in \partial f(x).</math>从这些事实，可以得到结论。∎</ref>

若<math>0 \neq x \in X</math>，则此定义可简化为：

:<math>\partial f (x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle = \| x \| \text{ and } \left\| x^* \right\| = 1 \right\}</math>；<math>\partial f(0) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\| x^* \right\| \leq 1 \right\}.</math>

<math>\forall x \in X,\ x^* \in X^*,\ f(x) + f^*\left(x^*\right) \geq \left\langle x^*, x \right\rangle,</math>这就是芬切尔-扬不等式，当且仅当<math>x^* \in \partial f(x)</math>时是等式。正是通过这种方式，次微分集<math>\partial f (x)</math>与凸共轭<math>f^*\left( x^* \right)</math>直接相关。

=== 双共轭 ===
函数<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>的双共轭是共轭的共轭，一般写作<math>f^{**} : X \to [-\infty, \infty]</math>。双共轭有助于显示[[强对偶]]或[[弱对偶]]何时成立（通过[[扰动函数]]）。

<math>\forall x \in X,</math>不等式<math>f^{**}(x) \leq f(x)</math>符合芬切尔-扬不等式。对[[真凸函数|紧合（proper）的函数]]，[[当且仅当]]''f''是凸的[[下半连续]]函数时，<math>f = f^{**}</math>（[[芬切尔–莫罗定理]]）。{{sfn|Zălinescu|2002|pp=75-79}}<ref name="BorweinLewis" />

== 凸最小化 ==
{{main|凸最小化}}
凸最小化（主）问题形如

:给定凸函数<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>与凸子集<math>M \subseteq X</math>，求<math>\inf_{x \in M} f(x)</math>

=== 对偶问题 ===
{{main|对偶性 (最佳化)}}
优化理论中，对偶原则（duality principle）指出，优化问题可以从两个角度分别视作主问题与对偶问题。

一般来说，给定一对分离的局部凸空间<math>\left(X, X^*\right)</math>、<math>\left(Y, Y^*\right)</math>，以及函数<math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>，可以把主问题定义为求''x''使得

:<math>\inf_{x \in X} f(x).</math>

可令<math>f = f + I_{\mathrm{constraints}}</math>（其中''I''是[[示性函数 (凸分析)|示性函数]]）将约束嵌入''f''。那么让<math>F : X \times Y \to [-\infty, \infty]</math>是[[扰动函数]]，使得<math>F(x, 0) = f(x)</math>。<ref name="BWG" />

关于所选扰动函数的对偶问题由下式给出：

:<math>\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right)</math>

其中<math>F^*</math>是''F''两个变量的凸共轭。

[[对偶间隙]]是不等式左右两式的差{{sfn|Zălinescu|2002|pp=106-113}}<ref name="BWG" /><ref name="Csetnek 2010" />

:<math>\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right) \le \inf_{x \in X} F(x, 0).</math>
此原理同[[弱对偶]]。若两侧相等，则问题满足[[强对偶]]。
强对偶成立的条件有很多，如
* <math>F = F^{**}</math>，其中''F''是连接主问题与对偶问题的[[扰动函数]]，<math>F^{**}</math>是''F''的双共轭；{{Citation needed|date=January 2012}}
* 主问题是[[线性规划]]问题；
* [[凸优化]]问题的[[斯莱特条件]]。<ref name="borwein" /><ref name="boyd" />

==== 拉格朗日对偶性 ====
对不等式约束的凸最小化问题，

:::<math>\min {}_{x} f(x)</math> subject to <math>g_i(x) \leq 0</math>，其中<math>i = 1, \ldots, m.</math>

其拉格朗日对偶问题是

:::<math>\sup {}_{u} \inf {}_{x} L(x, u)</math> subject to <math>u_i(x) \geq 0</math>，其中<math>i = 1, \ldots, m.</math>

其中目标函数<math>L(x, u)</math>是如下定义的拉格朗日对偶函数：
:<math>L(x, u) = f(x) + \sum_{j=1}^m u_j g_j(x)</math>

== 另见 ==
* [[凸性 (经济学)]]
** [[非凸 (经济学)]]

== 注释 ==
{{reflist|30em|refs=
<ref name="borwein">{{cite book|last1=Borwein|first1=Jonathan|last2=Lewis|first2=Adrian|title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples|edition=2|year=2006|publisher=Springer|isbn=978-0-387-29570-1}}</ref>
<ref name="BorweinLewis">{{cite book|last1=Borwein|first1=Jonathan|last2=Lewis|first2=Adrian|title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples|url=https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812|url-access=limited|edition=2|year=2006|publisher=Springer|isbn=978-0-387-29570-1|pages=[https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812/page/n88 76]–77}}</ref>
<ref name="BWG">{{cite book|last1=Boţ|first1=Radu Ioan|last2=Wanka|first2=Gert|last3=Grad|first3=Sorin-Mihai|title=Duality in Vector Optimization|year=2009|publisher=Springer|isbn=978-3-642-02885-4}}</ref>
<ref name="boyd">{{cite book|last1=Boyd|first1=Stephen|last2=Vandenberghe|first2=Lieven|title=Convex Optimization|publisher=Cambridge University Press|year=2004|isbn=978-0-521-83378-3|url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf|access-date=2011-10-03|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509212522/https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf|dead-url=no}}</ref>
<ref name="Csetnek 2010">{{cite book|last=Csetnek|first=Ernö Robert|title=Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators|year=2010|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH|isbn=978-3-8325-2503-3}}</ref>
<ref name="Rockafellar">{{cite book|last=Rockafellar|first=R. Tyrrell|author-link=Rockafellar, R. Tyrrell|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|orig-year=1970|isbn=978-0-691-01586-6}}</ref>
}}
{{reflist|group=proof}}

== 参考文献 ==
* {{sfn|Bauschke|Combettes|2017|pp=1-2}}
* {{sfn|Boyd|Vandenberghe|2004|pp=1-2}}
* {{cite book|last1=Hiriart-Urruty|first1=J.-B.|author1-link=J.-B. Hiriart-Urruty|last2=Lemaréchal|first2=C.|author2-link=C. Lemaréchal|title=Fundamentals of convex analysis|publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=2001 |isbn=978-3-540-42205-1}}
* {{cite book|last1=Kusraev|first1=A.G.|last2=Kutateladze|first2=Semen Samsonovich|author2-link=Semen Samsonovich Kutateladze|title=Subdifferentials: Theory and Applications|url=https://archive.org/details/subdifferentials0000kusr|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1995|isbn=978-94-011-0265-0|location=Dordrecht}}
* {{sfn|Rockafellar|Wets|2009|p=}}
* {{sfn|Rudin|1991|p=}}
* {{cite book|last=Singer|first=Ivan|title=Abstract convex analysis|url=https://archive.org/details/abstractconvexan0000sing|series=Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|location=New York|year= 1997|pages=xxii+491|isbn=0-471-16015-6|mr=1461544}}
* {{cite book|last1=Stoer|first1=J.|last2=Witzgall|first2=C.|title=Convexity and optimization in finite dimensions |volume=1 |publisher=Springer |location=Berlin | year=1970 |isbn=978-0-387-04835-2}}
* {{sfn|Zălinescu|2002|pp=1-2}}

==外部链接==
* {{Commons category-inline}}

== 参考资料 ==
{{reflist}}

{{凸分析与变分分析}}

[[Category:凸分析| ]]
[[Category:凸几何|分析]]