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在[[抽象代數]]中，[[阿貝爾群]] (''G'',+) 被称为'''有限生成'''的，如果存在 ''G'' 中有限多個元素 ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''s''</sub> 使得所有 ''G'' 中的 ''x'' 可以寫為如下形式
:''x'' = ''n''<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''n''<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + ''n''<sub>''s''</sub>''x''<sub>''s''</sub>，
其中''n''<sub>1</sub>,...,''n''<sub>''s''</sub> 是[[整數]]。在這種情況下，我們稱集合 {''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''s''</sub>} 是 ''G'' 的[[群的生成集合|生成集]]，或 ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''s''</sub> 生成了 ''G''。

显然，所有有限阿貝爾群都是有限生成的。有限生成的阿貝爾群帶有相當簡單的結構并可以被完全的分類，我們后面會講到。

== 例子 ==
* [[整數]]集 ('''Z''',+) 是有限生成阿貝爾群。
* [[模算術|整數模以 ''n'']] '''Z'''<sub>''n''</sub> 是有限生成阿貝爾群。
* 有限多個有限生成阿貝爾群的[[群的直和|直和]]也是有限生成阿貝爾群。

沒有其他的例子了。[[有理數]]集的群 ('''Q''',+) 不是有限生成的：如果 ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''s''</sub> 是有理數，選取一個[[自然數]] ''w'' [[互素]]於所有分母；則 1/''w'' 不能被 ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''s''</sub> 生成。

== 分類 ==

'''有限生成阿貝爾群的基本定理'''（它是[[在主理想整環上的有限生成模的結構定理]]的特殊情況）可以用兩種方式陳述（類似於[[主理想整環|PID]]）:

=== 基礎分解(elementary divisors ) ===
主分解公式生成任何有限生成阿貝爾群 ''G'' 同構於[[準素循環群]]和無限[[循環群]]的[[群的直和|直和]]。準素循環群是其[[階 (群論)|階]]是[[素數]]的冪的群。就是說，所有這種群同構於如下形式之一
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t}</math> 
這里的[[阿貝爾群的秩|秩]] ''n'' &ge; 0，并且數 ''q''<sub>1</sub>,...,''q''<sub>''t''</sub> 是（不必需不同的）素數的冪。特別是，''G'' 是有限的，當且僅當 ''n'' = 0。''n'', ''q''<sub>1</sub>,...,''q''<sub>''t''</sub> 的值（差一個指標的重排）唯一確定自 ''G''。

=== 不變量因子分解(invariant factors decomposition ) ===
我們可以寫任何有限生成阿貝爾群 ''G'' 為如下形式的直和
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}</math> 
這里的 ''k''<sub>1</sub> [[因子|整除]] ''k''<sub>2</sub>，而它又整除 ''k''<sub>3</sub> 如此直到 ''k''<sub>''u''</sub>。還有，''n'' 的秩和[[不變量因子]] ''k''<sub>1</sub>,...,''k''<sub>''u''</sub> 唯一的確定自 ''G''（這里帶有唯一次序）。

===等價===
這些陳述是等價的，因為[[中國剩馀定理]]聲稱 '''Z'''<sub>''m''</sub> 同構於 '''Z'''<sub>''j''</sub> 和 '''Z'''<sub>''k''</sub> 的直和，當且僅當 ''j'' 和 ''k'' [[互質]]并且 ''m'' = ''jk''。

== 例子 ==
在這裡提供幾個簡單的例子作為參考

=== EX1: 找出所有階為20的阿貝爾群 ===
首先可以將階數質因數分解 <math>20=2^2*5^1</math>

注意到指數有2以及1，先注意到2，2的整數分解有兩種，即 { 2 } , { 1,1 }  而 1 的整數分解只有一種即 , { 1 }

所以20階的阿貝爾群的基礎分解即為  <math>\mathbb{Z}_{4}\oplus \mathbb{Z}_{5}</math>，<math>\mathbb{Z}_{2}\oplus\mathbb{Z}_{2}\oplus\mathbb{Z}_{5}</math>

=== EX2:找出所有階為72的阿貝爾群 ===
注意到<math>72=2^3*3^2</math>，然後看到3有三種分解, 即 { 3 } , { 2,1 }, { 1,1,1 } , 而2的整數分解有兩種，即 { 2 } , { 1,1 } 

所以72階的阿貝爾群的基礎分解即為

<math>\mathbb{\Z}_{8}\oplus\mathbb{\Z}_{9}</math>， <math>\mathbb{\Z}_{8}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}</math>，<math>\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{4}\oplus\mathbb{\Z}_{9}</math>，<math>\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{9}</math>， <math>\mathbb{\Z}_{4}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}</math>，<math>\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}</math>

==证明==
设<math>g_1,g_2,\cdots, g_k</math>是''G''的具有最小基的生成元，我们称如下关系是非平凡的
:<math>n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k</math>
如果<math>n_i</math>不全为''0''。


记
:<math>m_1g_1+m_2g_2+\cdots +m_kg_k\qquad\qquad (1)</math>
为所有非平凡关系中具有最小正系数的关系，不失一般性，设<math>m_1</math>为最小的系数。对于任意关系
:<math>n_1g_1+n_2g_2+\cdots +n_kg_k\qquad\qquad (2)</math>
我们有<math>m_1\mid n_1</math>，这是因为否则的话我们将有<math>n_1=m_1p+r,\ r<m_1</math>，所以将(1)式乘上''p''后减去(2)式我们将有<math>g_1</math>的系数为''r''小于<math>m_1</math>。


进一步我们有<math>m_1\mid m_i</math>，这是因为否则的话存在<math>m_i=m_1p+r</math>，这将有：
:<math>m_1(g_1+pg_i)+\cdots +rg_i+\cdots +m_kg_k</math>
与(1)式得最小性选择矛盾。因此我们有：
:<math>m_1g_1+\cdots +m_kg_k = m_1(g_1 - p_2g_2-\cdots -p_kg_k) = m_1\hat{g_1}=0</math>
所以若
:<math>n_1\hat{g_1}+n_2g_2+\cdots +n_kg_k = 0</math>
那么必有<math>m_1\mid n_1</math>，特别的<math>n_1\hat{g_1} = 0</math>。


将<math>g_2,g_3,\cdots,g_k</math>生成的子群记为''G'''，所以''G''中的每个元素都可表示成
:<math>n\hat{g_1}+a,\ a\in G'</math>
若存在<math>n_1\hat{g_1}+p_1=n_2\hat{g_1}+p_2</math>，我们将有关系
:<math>(n_1-n_2)\hat{g_1}+(p_1-p_2)=0</math>
由上面的讨论我们知道<math>(n_1-n_2)\hat{g_1}=0</math>，因此<math>n_1\hat{g_1}=n_2\hat{g_1}</math>且<math>p_1=p_2</math>。


所以<math>G=C_{\hat{g_1}}\oplus G'</math>这里<math>C_{\hat{g_1}}</math>为<math>\hat{g_1}</math>生成的循环群。所以通过归纳法我们即可得到原命题。

==推論==
不同陳述的基本定理說明了有限生成阿貝爾群是有限[[阿貝爾群的秩|秩]]的[[自由阿貝爾群]]和有限阿貝爾群的直和，此兩者都是唯一（不別同構之異）。有限阿貝爾群就是 ''G'' 的[[撓子群]]。''G'' 的秩定義為 ''G'' 的無撓部分的秩，這就是上面公式中的數 ''n''。

基本定理的推論是所有有限生成無撓阿貝爾群是自由阿貝爾群。有限生成條件在這里是本質性的：'''Q''' 是無撓但非自由阿貝爾群。

有限生成阿貝爾群的所有[[子群]]和[[因子群]]也是有限生成阿貝爾群。有限生成阿貝爾群和[[群同態]]一起形成了[[阿貝爾范疇]]，它是[[阿貝爾群范疇]]的[[子范疇]]。

==非有限生成阿貝爾群==
注意不是所有有限秩的阿貝爾群都是有限生成的；秩-1 群 '''Q''' 就是一個例子，而'''Z'''<sub>2</sub> 的[[可數集合|可數]]個復本的直和給出的秩-0 群是另一個例子。

==參見==
* [[約當-赫德定理]]是對非阿貝爾群的推廣。

{{基本定理}}

[[Category:阿貝爾群論]]