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舒尔不等式

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舒尔不等式说明,对于所有的非负实数xyz和实数t,都有:

当且仅当x = y = z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=”成立。当t是正的偶数时,不等式对所有的实数xyz都成立。

证明

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由于不等式是对称的,不失一般性,我们不妨设。对t分类讨论: 时,

显然成立,这是因为左边的每一项都是非负的。同理,时,

证毕。

推广

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舒尔不等式有一个推广:

假设a、b、c是正的实数。如果(a,b,c)(x,y,z)同序的,则以下的不等式成立:

2007年,罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式:

考虑,其中,而且。设,并设或者是凸函数,或者是单调函数。那么:

x = ay = bz = ck = 1、f(m) = mt时,即化为舒尔不等式。[1]

参考文献

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  1. ^ Vornicu, Valentin; Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta; GIL Publishing House; Zalau, Romania.