描述Kerr photon orbit with zero axial angular momentum.gif	Deutsch: Photonenorbit um ein mit mit dem Spinparameter a=Jc/G/M²=1 rotierendes schwarzes Loch. Der Boyer-Lindquist Radius ist konstant r⊥°=(1+√2)GM/c². Axialer Drehimpuls: Lz=0 (aufgrund des Frame-Dragging-Effekts ist der beobachtete Inklinationswinkel kleiner als 90°; für die Version auf r⊥°=3GM/c² mit scheinbar verschwindendem axialen Drehimpuls, in der dieser den Effekt des Frame-Draggings genau aufhebt geht es hier entlang. English: Photon-orbit around a rotating black hole with the spin-parameter a=Jc/G/M²=1. The Boyer-Lindquist radius is constant at r⊥°=(1+√2)GM/c². Because of the inertial-frame-dragging the zero axial angular momentum, Lz=0, gives an observed inclination angle of smaller than 90°; for a version where a negative Lz exactly cancels out the equatorial fram-dragging click here.
日期	2017年7月21日
來源	自己的作品 Text: de.wikipedia.org/wiki/Kerr-Metrik, other versions: photon orbit @ r=3
作者	Yukterez (Simon Tyran, Vienna)
其他版本

01) Coordinate time              08) Axial radius of gyration     15) Axial angular momentum       22) Framedragging delayed angular velocity
02) Affine parameter             09) Poloidial radius of gyration 16) Polar angular momentum       23) Framedragging local velocity
03) Total time dilation          10) Radial coefficient           17) Radial momentum              24) Framedragging observed velocity
04) Gravitational time dilation  11) E kinetic                    18) Cartesian radius             25) Observed particle velocity
05) Boyer Lindquist radius       12) Potential energy component   19) Cartesian X-axis             26) Local escape velocity
06) BL Longitude in radians      13) Total particle energy        20) Cartesian Y-axis             27) Delayed particle velocity
07) BL Latitude in radians       14) Carter Constant              21) Cartesian Z-axis             28) Local particle velocity

01) Koordinatenzeit              08) Axialer Gyrationsradius      15) Axialer Drehimpuls           22) Framedrag verzögerte Winkelgeschwindigkeit
02) Affiner Parameter            09) Poloidialer Gyrationsradius  16) Polarer Drehimpuls           23) Framedrag lokale Transversalgeschwindigkeit
03) Insgesamte Zeitdilatation    10) Radialer Vorfaktor           17) Radialer Impuls              24) Framedrag beobachtete Transversalgeschwindigkeit
04) Gravitative  Zeitdilatation  11) E kinetisch                  18) Kartesischer Radius          25) Beobachtete Totalgeschwindigkeit
05) Boyer Lindquist Radius       12) Potentielle Energie          19) Kartesische X-Achse          26) Lokale Fluchtgeschwindigkeit
06) BL Längengrad in Radianten   13) Totale Energie               20) Kartesische Y-Achse          27) Verzögerte Geschwindigkeit
07) BL Breitengrad in Radianten  14) Carter Konstante             21) Kartesische Z-Achse          28) Lokale Geschwindigkeit relativ zum ZAMO

Für ein gegebenes a und r und ausgehend von θ0=π/2 kann der benötigte Bahnneigungswinkel δ0 für die Kreisbahn eines Photons gefunden werden indem^[1]

${\displaystyle {\rm {{\frac {\zeta _{1}+\zeta _{2}-\zeta _{3}}{\zeta _{4}}}=0}}}$

gesetzt und nach δ0 aufgelöst wird. Die realen Lösungen des Polynoms geben eine mögliche Bahn in die positive, und eine in die negative z-Richtung (aufgrund der axialen Symmetrie sind auf einem r jeweils 2 zueinander gespiegelte Orbits möglich). Die Terme der obigen Gleichung sind:

${\displaystyle {\rm {\zeta _{1}=a^{4}(r-1)+a^{2}r(r(3r-5)+6)+2(r-3)r^{4}}}}$

${\displaystyle {\rm {\zeta _{2}=4a{\sqrt {a^{2}+(r-2)r}}\left(a^{2}+3r^{2}\right)\cos(\delta )}}}$

${\displaystyle {\rm {\zeta _{3}=a^{2}(r+3)\left(a^{2}+(r-2)r\right)\cos(2\delta )}}}$

${\displaystyle {\rm {\zeta _{4}=2r\left(a^{2}+(r-2)r\right)\left(a^{2}(r+2)+r^{3}\right)}}}$

Alle Formeln sind in natürlichen Einheiten:

${\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}$

Koordinatenzeitableitung nach der Eigenzeit (dt/dτ), wobei τ für masselose Testteilchen zum affinen Parameter λ wird:

${\displaystyle {\rm {{\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}}}$

Radialkoordinatenableitung (dr/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}}}$

Radiale Impulskomponentenableitung:

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}}}$

Zusammenhang mit der lokalen Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\rm {p_{r}={\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}$

Breitengradableitung (dθ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}}}$

Drehimpulsableitung auf der θ-Achse (pθ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left({\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{4}\theta }}-a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}}}}$

Zusammenhang mit der lokalen Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\rm {p_{\theta }={\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}$

Längengradableitung (dФ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}}}$

Drehimpulsableitung auf der Ф-Achse (pФ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\phi }=0}}}$

Erhaltungsgröße Carter-Konstante:

${\displaystyle {\rm {Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}}}$

Daraus abgeleitete Erhaltungsgröße:

${\displaystyle {\rm {k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q}}}$

Erhaltungsgröße Gesamtenergie:

${\displaystyle {\rm {E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\varphi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}}}$

Erhaltungsgröße Drehimpuls entlang Ф:

${\displaystyle {\rm {L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}$

mit dem Radius der Gyration

${\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta }}}$

Frame Dragging Winkelableitung (dФ/dt):

${\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\chi }}}}}$

Gravitative Zeitdilatationskomponente (dt/dτ):

${\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }}}}}}$

Lokale Geschwindigkeit auf der r-Achse:

${\displaystyle {\rm {{\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}$

Lokale Geschwindigkeit auf der θ-Achse:

${\displaystyle {\rm {{\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {\theta }}\ \Sigma }}}$

Lokale Geschwindigkeit auf der Ф-Achse:

${\displaystyle {\frac {\rm {v_{\phi }}}{\sqrt {1+\mu \ {\rm {v^{2}}}}}}={\frac {\rm {L_{z}}}{\rm {{\bar {R}}_{\phi }}}}}$

Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle {\rm {x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \cos \phi \ ,\ y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \sin \phi \ ,\ z=r\cos \theta \quad }}}$

Beobachtete Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\rm {\beta ={\sqrt {(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}}}}}}$

Die radiale Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Verhältnis:

${\displaystyle {\rm {\varsigma =1/{\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}/\varsigma }}}$

zusammengefasste Terme:

${\displaystyle {\rm {\Sigma =a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\ ,\ \ \Delta =a^{2}+r^{2}-2r\ ,\ \ \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}$

Quellen:^{[2][3][4][5][6][7]}

For an english version of the equations of motions click here

1. ↑ Simon Tyran: Kreisbahnen in der Kerr-Raumzeit
2. ↑ Pu, Yun, Younsi & Yoon: General-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime, S. 2+
3. ↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits, S. 30+
4. ↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes, S. 5+
5. ↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: The Phase Space Portrait, S. 2+
6. ↑ Misner, Thorne & Wheeler (MTW): Die Bibel archive copy at the Wayback Machine, S. 897+
7. ↑ Simon Tyran: Kerr Orbits / Gravitationslinsen

我，本作品的著作權持有者，決定用以下授權條款發佈本作品：

此檔案採用共享創意 姓名標示-相同方式分享 4.0 國際授權條款。

您可以自由：

• 分享 – 複製、發佈和傳播本作品
• 重新修改 – 創作演繹作品

惟需遵照下列條件：

• 姓名標示 – 您必須指名出正確的製作者，和提供授權條款的連結，以及表示是否有對內容上做出變更。您可以用任何合理的方式來行動，但不得以任何方式表明授權條款是對您許可或是由您所使用。
• 相同方式分享 – 如果您利用本素材進行再混合、轉換或創作，您必須基於如同原先的相同或兼容的條款，來分布您的貢獻成品。

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

de.wikipedia.org/wiki/Kerr-Metrik