切線法

切線法是利用切線構造不等式的方法，有時會結合延森不等式。

切線法是屬於試探性的方法，但使用範圍比延森不等式更廣，例如半凹半凸的函數$x^{2}+2{\sqrt {x}}$不能使用延森不等式，但能使用切線法。

常規方法

對於$x_{1},x_{2},...,x_{n}\in D,x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=k$，D為給定區間，k為常數，求證$f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\leq (\geq )C$

觀察得取等條件為$x_{1}=x_{2}=...=x_{n}={\frac {k}{n}}$時，找出$f(x)$在$x={\frac {k}{n}}$處的切線函數$px+q$（假設f可導），嘗試證明局部不等式$f(x)\leq (\geq )px+q$。

例子

已知$a,b,c\geq 0,a+b+c=1$，求證${\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq {\sqrt {21}}$

猜得$a=b=c={\frac {1}{3}}$時取等，構造切線使${\sqrt {4a+1}}\leq pa+q$讓${\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq {\sqrt {21}}$成立。

${\sqrt {4a+1}}={\sqrt {\frac {7}{3}}}$

$({\sqrt {4a+1}})'={\frac {2}{\sqrt {4a+1}}}=2{\sqrt {\frac {3}{7}}}$

所求切線為$2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}}$

$(2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}})^{2}-(4a+1)={\frac {4}{21}}(3a-1)^{2}\geq 0$證得${\sqrt {4a+1}}\leq 2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}}$

${\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq 2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a+b+c-1)+3{\sqrt {\frac {7}{3}}}={\sqrt {21}}$