二維傅立葉變換

傅立葉變換(Fourier transform)是一種幫助我們分析訊號頻域成分的積分變換，詳細內容詳見傅立葉變換一文。一般教科書所教的通常是一維的傅立葉轉換，但我們也可以將傅立葉轉換推廣到多維的空間。而二維傅立葉變換即是由一維傅立葉變換推廣而來，近幾十年來常被運用在影像處理上。其他相關的數學工具，例如二維餘弦轉換、二維濾波器……等等，均是建立在二維傅立葉轉換的概念上而得到的。

二維傅立葉級數

考慮一個信號二維的信號，$s(t_{1},t_{2})$，其中$t_{1},t_{2}$為兩個獨立變數，且$s(t_{1},t_{2})$滿足下列方程式: $s(t_{1},t_{2})=s(t_{1}+kT_{1},t_{2}+lT_{2}),$ for all $t_{1},t_{2}$, 其中k, l 為整數 也就是說$s(t_{1},t_{2})$在$t_{1}-t_{2}$平面為週期函數，在$t_{1}$方向的週期為$T_{1}$，在$t_{2}$方向的週期為$T_{2}$，而信號的傅立葉級數為

$s(t_{1},t_{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{mn}e^{j(m\omega _{1}t_{1}+n\omega _{2}t_{2})},\ \omega _{1}=2\pi /T_{1},\omega 2=2\pi /T_{2}$

而$a_{mn}$可藉由積分求得 $a_{mn}={\frac {1}{T_{1}T_{2}}}\int _{0}^{T_{1}}\int _{0}^{T_{2}}s(t_{1},t_{2})e^{-jm\omega _{1}t_{1}}e^{-jn\omega _{2}t_{2}}\,dt_{1}\,dt_{2}$

參考資料

Judith C. Brown, Calculation of a constant Q spectral transform, J. Acoust. Soc. Am., 89(1):425–434, 1991.