加权射影空间

代数几何中，加权射影空间$\mathbf {P} (a_{0},\ \ldots ,\ a_{n})$是与分次环$k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}]$相关联的射影簇${\rm {Proj}}(k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}])$，其中簇x_k的度为a_k。

性质

• 有正整数d，则$\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a-n)$与$\mathbf {P} (da_{0},\ da_{1},\ \ldots ,\ da_{n})$同构。这是所谓射影结构的性质；从几何学角度看，它对应于d元委罗内塞嵌入。因此，在不失一般性的前提下，可以假设$a_{i}$的度数没有公因子。

• 假设$a-0,\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}$没有公因子，且d是所有$i\neq j$的$a_{i}$的公因子，则$\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})$与$\mathbf {P} (a_{0}/d,\ldots ,\ a_{j-1}/d,\ a_{j},\ a_{j+1}/d,\ldots ,\ a_{n}/d)$同构（其中d与$a_{j}$互质；否则同构不成立）。因此可以进一步假设，任何由n个变量组成的集合$a_{i}$都没有公因子。称这样的加权射影空间“结构良好”（well-formed）。
• 加权射影空间位移的奇异点是循环商奇异点。
• 加权射影空间是Q法诺簇，也是环面簇。
• 加权射影空间$\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})$与射影空间对对角作用的$a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}$阶的单位之根的积群的商同构。

参考文献

• Dolgachev, Igor, Weighted projective varieties, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math. 956, Berlin: Springer: 34–71, 1982, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , ISBN 978-3-540-11946-3, MR 0704986, doi:10.1007/BFb0101508 
• Hosgood, Timothy, An introduction to varieties in weighted projective space, 2016, Bibcode:2016arXiv160402441H, arXiv:1604.02441  
• Reid, Miles, Graded rings and varieties in weighted projective space (PDF), 2002