代数几何

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陶里亚蒂曲面是一个五阶代数曲面。上图代表曲面的其中一个实轨迹

代数几何数学的一个分支,经典代数几何研究多项式方程的零点,而现代代数几何将抽象代数,尤其是交换代数,同几何学的语言和问题结合起来。

代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如,三维空间中的代数簇就是代数曲线代数曲面。最常研究的代数簇是平面代数曲线,它包括直线抛物线椭圆抛物线、三次曲线(如椭圆曲线)、及四次曲线(如双纽线,以及卵形线。代数几何的基本问题涉及对特殊点的研究,如奇异点反曲点,和无穷远点等。稍深入的问题涉及曲线的拓扑,和不同方程所确定的曲线之间的关系。

代数几何在现代数学占中心地位,在多复变函数论拓扑学微分方程论数论等不同领域中都有应用。始于对多变量多项式方程组的研究,代数几何延续解方程未竟之事;与其求出方程实在的解,代数几何尝试理解方程组的解的本质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。

进入20世纪,代数几何的研究又衍生出几个分支:

  • 代数几何的主流致力于研究代数簇的复点,以及更一般地,坐标在代数闭域里的点。
  • 研究代数簇中、坐标在有理数域或代数数域里的点;这一分支发展成算术几何(更经典地,丢番图几何),属于代数数论的分支。
  • 研究代数簇的实点,即实代数几何
  • 奇点理论的一大部分致力于研究代数簇中的奇异点。
  • 随着计算机的兴起,计算代数几何作为代数几何与符号运算两支的交叉而崭露头角。这一分支本质上包含开发算法软件与寻找显代数簇的性质这两项工作。

20世纪以来,代数几何主流的许多进展都在抽象代数的框架内进行,越发强调代数簇“内在的”性质,即那些不取决于特定的将代数簇嵌入坐标空间的方式的性质,与拓扑学微分几何复几何等学科的发展相应。抽象代数几何的一大关键成就是格罗滕迪克概形论;概形论允许人们应用层论研究代数簇,某种意义上与应用层论研究微分流形解析流形是否相似。概形论延伸了点的概念:在经典代数几何中,根据希尔伯特零点定理,一个仿射代数簇的一点可视作坐标环上的一个最大理想;这样的话,仿射概形上的对应点则是坐标环的所有素理想。这意味着此类概形上的点要么是一个普通的点,要么是一个子簇。这种方法同时使得经典代数几何(主要涉及复点)和代数数论的语言和工具得到统一。怀尔斯对世纪难题费马大定理的证明即是概形论的威力极佳的范例。

联立多项式的零点[编辑]

球和倾斜的圆周

在古典代数几何中,主要的研究对象是一组多项式的公共零点集,即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的集合。 例如,在三维欧几里德空间\mathbb R^3中的单位球面被定义为满足方程

x^2+y^2+z^2-1=0

的所有点(x,y,z)的集合。

一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间\mathbb R^3中可以被定义为同时满足如下两个方程

x^2+y^2+z^2-1=0
x+y+z=0

的所有点(x,y,z)的集合。

仿射簇[编辑]

现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个数域 k,在古典代数几何中这个域通常是复数C,现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域 k上的 n维仿射空间{\mathbb A}^n_k,简单讲来,它只是一些点的集合,以下为方便我们简记为{\mathbb A}^n

如果函数

f:{\mathbb A}^n\to{\mathbb A}^1

可以被写为多项式,即如果有多项式p

k[x1,...,xn] 上,

{\mathbb A}^n上的每个点

(t1,...,tn)

都有

f(t1,...,tn) = p(t1,...,tn),定义这个函数是正则的。

n维仿射空间的正则函数正是数域 kn个变量的多项式。我们将{\mathbb A}^n上的正则函数记为 k[{\mathbb A}^n]

正则函数[编辑]

仿射簇范畴[编辑]

射影空间[编辑]

现代的观点[编辑]

與數論的關系;Hodge 結構[编辑]

極小模型與雙有理幾何[编辑]

與拓撲場論的關係[编辑]

拓撲場論是數學物理中對sigma 模型sigma model)的場做路徑積分量子化的理論。

sigma 模型是從一個實二維曲面到一個固定空間的映射,再加上此二維曲面上一些叢的平滑截面。其中映射部份被稱爲玻色場boson field),截面部份被稱爲費米場fermi field)。該理論的主要目的是通過路徑積分計算配分函數partition function)。

在一些特殊情況下,可以用局部化方法配分函數原在無限維空間積分化簡爲在有限維空間的積分。對不同的作用量action)而言,這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論,包括:

IIB型弦論則利用了 Hodge 結構的形變來計算。

注解[编辑]

参见[编辑]

参考书目[编辑]

经典教科书,先于概形:

不使用概形的语言的现代教科书:

关于概形的教科书和参考书:

互联网上的资料: