双曲线

在数学中，双曲线（希腊语「ὑπερβολή」字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a 的两倍，这裡的a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a 还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。

从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线

$A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0$，

使得$B^2 > 4 AC \,$，这裡的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对（x, y）的多于一个的解。

注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。

定义

前两个上面已经列出了:

• 平面切直角圆锥面的两半的交截线。
• 与两个固定点（叫做焦点）距离差为常数的点的轨迹。
• 到一个焦点的距离和到一个线（叫做准线）的距离的比例是大于1的常数的点的轨迹。这个常数叫做双曲线的偏心率。

共轭单位直角双曲线。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的叫做臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近叫做渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率$\pm \frac{b}{a}$，对于北南开口的双曲线有斜率$\pm \frac{a}{b}$。

双曲线有个性质，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程xy=c 给出，这裡的c 是常数。

如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。

如果对双曲线方程交换x 和y，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

笛卡尔坐标

中心位于 (h,k)的东西开口的双曲线:

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

中心位于 (h,k)的北南开口的双曲线:

$\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1$

实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点（拐点）。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，a 是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而b是半虚轴。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是2b，平行于实轴的两边的长度是2a，注意b 可以大于a。

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是2a。

直角双曲线$y=\tfrac{1}{x}$的图像。

离心率给出自

$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

东西开口的双曲线的焦点是

$\left(h\pm c, k\right)$这裡的c给出自$c^2 = a^2 + b^2$，

北南开口的双曲线的焦点是

$\left( h, k\pm c\right)$这裡的c给出自$c^2 = a^2 + b^2$，

对于以直线$x=h$和直线$y=k$为渐近线的直角双曲线:

$(x-h)(y-k) = c$，

这种双曲线最简单的例子是

$y=\frac{m}{x}$，

极坐标

东西开口的双曲线:

$r^2 =a^2\sec 2\theta$，

北南开口的双曲线:

$r^2 =-a^2\sec 2\theta$，

北东南西开口的双曲线:

$r^2 =a^2\csc 2\theta$，

北西南东开口的双曲线:

$r^2 =-a^2\csc 2\theta$，

在所有公式中，中心在极点，而a 是半实轴和半虚轴。

参数方程

东西开口的双曲线:

$\begin{matrix} x = a\sec t + h \\ y = b\tan t + k \\ \end{matrix}$

或

$\begin{matrix} x = a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix}$

北南开口的双曲线:

$\begin{matrix} x = a\tan t + h \\ y = b\sec t + k \\ \end{matrix}$

或

$\begin{matrix} x = a\sinh t + h \\ y = b\cosh t + k \\ \end{matrix}$

在所有公式中，(h,k)是双曲线的中点，a 是半实轴而b 是半虚轴。

参见

• 圆锥曲线
• 双曲函数

外部链接

• PlanetMath上Unit hyperbola的資料。
• PlanetMath上Conic section的資料。
• PlanetMath上Conjugate hyperbola的資料。
• Mathworld - Hyperbola