二刻尺作圖

二刻尺作圖

二刻尺 (希臘語 neuein)是一種幾何作圖的工具，在古希臘時期曾經和圓規、直尺一樣是在尺規作圖中合法的作圖工具。

構造

二刻尺與一般尺規作圖所用的尺不同，尺規作圖用的尺上不能有刻度，而二刻尺上有兩個刻度(刻度可以是在作圖時標上去)。

使用方法

在尺規作圖中，尺被視為可以畫無限長直線的工具，但只能用來將兩點連接起來。而二刻尺除了可以將兩點連接起來，還有以下用法，假設尺上的兩刻度距離為a，有兩條線l、m和點P，可以用二刻尺找到一條通過P的直線，使得此直線與直线l和m的两个交點间的距離為a。

如圖，有兩條線l、m和點P。可以將尺與點P對齊，並讓其中一個刻度保持在l（圖中黃點）上，慢慢轉動尺，直到另一個刻度碰到m（圖中藍點），此線即為所求（圖中深藍色線）。

幾何作圖

二刻尺可以解出單用直尺和圓規無法解決的問題，例如三等分角和正七邊形。

用二刻尺做三等分角

三等分角

• 已知角a，以B點為圓心，二刻尺刻度間距為半徑畫圓。
• 角a的兩邊其中一邊交圓於A點，並畫另一邊的延長線。
• 將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到圓上，另一個移到角a一邊的延長線上，分別稱為C點和D點。
• 角b即為角a的三等分角。

用二刻尺作正七邊形

正七邊形

• 以二刻尺刻度的間距畫正方形CDEF。
• 以E點為圓心，CE為半徑畫圓E。
• 做DE的中垂線。
• 將二刻尺固定在D點，並將兩刻度一個移到圓E上，另一個移到DE的中垂線上，分別稱為B點和A點。
• 做三角形ADE的外接圓O。
• 以二刻尺刻度的間距為半徑，畫出G、H、I、J四點。
• D、E、G、H、A、I、J七點即為正七邊形。

用二刻尺作倍立方

倍立方

• 以二刻尺刻度的間距做AB=BC=CA=BD，且A、B、D共線。
• 將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到CD的延長線上，另一個移到BC的延長線上，分別稱為G點和H點。
• AG的長度就是二刻尺刻度的間距的$\sqrt[3]{2}$倍。

二刻尺的沒落

數學史學家T.L.希思（T. L. Heath）認為希臘數學家恩諾皮德斯（西元前440年左右）是第一個把圓規和直尺的地位提高的人。這種避免使用二刻尺的理念多少影響了同一時期、同一座島上的几何学家希波克拉底（Hippocrates of Chios）（西元前430年左右）。100年後歐幾里得在他的著作中也盡量避免使用二刻尺作圖。

西元前四世紀，受到柏拉圖的唯心主義影響，尺規作圖被分成三個等級。這三個等級分別是：

1. 只用圓和直線作圖（一般的尺規作圖）。
2. 除了圓和直線，允許使用圓錐曲線作圖（橢圓、拋物線、雙曲線）。
3. 使用其他方法作圖（例如：二刻尺、阿基米德螺線）。

二刻尺被放在第三級是因為它可以解決前兩級所不能解決的問題，因此二刻尺被當成解決問題的最終手段，這種簡單而有力的作圖工具也逐漸被當成不正當的作圖工具。希臘數學家亚历山大里亚的帕普斯（Pappus of Alexandria，西元前325年左右）認為：「這是一個不小的錯誤」。

參見

• 尺規作圖
• 三等分角
• 正七邊形
• 倍立方

外部連結

• 從解三次方程到構作正七邊形
• MathWorld page
• Angle Trisection by Paper Folding

參考資料

• R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894-), Supplement 9 (1962) 415-461.－德語
• The Mathematical Gazette, Vol. 59, No. 407 (Mar., 1975), pp. 17-21