拓扑学

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拓扑学系列
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几何拓扑学

拓扑学英语topology)研究的是几何形体在连续形变,精确地说,双方一一而且双方连续的变换(称为同胚)之下保持不变的性质。理解得广泛些,拓扑学是研究数学中连续性现象的学科。[1]

在拓扑学中,一个杯子和一个实心环面是相同的

词源[编辑]

拓扑学[2],或意譯位相幾何學是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία」的音译。Topology原意为地貌,於19世纪中期由科学家引入,当时主要研究的是出於数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今,拓扑学主要研究拓扑空间拓扑变换下的不变性质和不变量。

历史[编辑]

拓扑学萌芽很早,但直到19世纪末才开始从不同的方面正式形成学科.20世纪末,拓扑学已发展为现代数学的一个庞大的学科,包括作为现代数学的基础的拓扑空间理论为核心内容的一般拓扑学,运用抽象代数的概念和方法为工具的代数拓扑学,进而派生出以流形为主要对象的微分拓扑学以及几何拓扑学等方面.拓扑学可简称为拓扑,但拓扑一词还可作为拓扑空间中的拓扑结构理解.

早期历史[编辑]

拓扑学最初被称为形势几何学(geometria situs),这是莱布尼茨(Leibniz,G.W.)于1679年提出的,他预见到现在所称的组合拓扑学.最早为人所知的拓扑学定理可能是所谓的欧拉公式.欧拉(Euler,L.)于1750年发表了任何闭的凸多面体的顶点数v,棱数e和面数f有关系v-e+f=2.用现代说法,它是一个拓扑不变量,称为欧拉示性数.据史学家考证,笛卡儿(Descartes,R.)在1639年就知道它,并且莱布尼茨通过笛卡儿未发表的手稿于1675年得知这一结果.另一著名的结果是哥尼斯堡七桥问题的解决,欧拉在1736年将问题表成能否一笔画一个给定的图,并给出了一般性的解答.德国数学家高斯(Gauss,C.F.)于1827年得到曲面上曲率的积分与欧拉示性数的关系,他于1823年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数.利斯廷(Listing,J.B.)于1848年第一次采用了拓扑学一词,其实他认为宁愿用形势几何,只是已被别人采作他用.黎曼(Riemann,B.)于1851年定义了黎曼面,引进了连通性亏格,实际上解决了可定向闭曲面的分类问题,给拓扑学的建立以巨大的推动.1858年,默比乌斯(Mo¨bius,A.F.)和利斯廷独立地发现了单侧的曲面,现被更确切地称为不可定向曲面.默比乌斯于1863年恰当地指出形势几何学的定义.贝蒂(Betti,E.)于1870年定义了高维的连通性.若尔当(Jordan,C.)于1887年提出曲线定理,但证明是错的,直到1905年才得证.

正式独立[编辑]

拓扑学正式成为一门独立的学科是庞加莱(Poincaré,H.)实现的.他于1892年发表了题为“论形势分析”的短文,然后于1895年发表了题为“形势分析”的120页的长文,介绍它的概念,其中有同调、贝蒂数、相交、基本群,甚至隐含着上同调;建立了对偶定理和欧拉-庞加莱公式.随后直到1904年,他连续发表了五篇补充,为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法,定义了挠系数,开始探讨三维流形的拓扑分类,构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形,并提出了著名的庞加莱猜想:基本群平凡的三维闭流形同胚于三维球面.这几篇文章奠定了组合拓扑学的基础,其思想之丰富,观念之深刻,影响之深远,一言难尽,但不够严密或缺乏证明,后来的进展正是从此入手,将这门学科建立在严格的逻辑上而发展为后来的组合拓扑学、代数拓扑学,进而发展出微分拓扑学等学科和分支.

相关渊源[编辑]

拓扑学的另一个渊源是分析学的严密化.实数的严格理论以及傅里叶级数惟一性的讨论推动着德国数学家康托尔(Cantor,G.)从1872年起系统地展开了欧氏空间中点集的研究,得出极限点、导集等概念,进而得到开集、闭集、稠密性和连通性等概念,并从欧氏空间的点集发展为一般的集合论以及超限基数和序数的理论.这一革命性的进展结合19世纪另一由非欧几何引起的革命性的进展——数学公理化的潮流,产生了抽象空间的研究.弗雷歇(Fréchet,M.R.)于1906年定义了度量空间,豪斯多夫(Hausdorff,F.)于1914年出版了《集论大纲》,用开邻域定义了一般的拓扑空间,标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生.随后,对拓扑空间的基本性质如分离性、紧致性、连通性和维数等开展了系统研究,至20世纪30年代中期后,开展了关于一致性和仿紧性的研究,到20世纪50年代初,度量化问题获得基本解决,此时,一般拓扑学已发展成熟,并且其基本理论已成为现代数学的共同基础.

组合拓扑学[编辑]

组合拓扑学在1910—1912年间受到布劳威尔(Brouwer,L.E.J.)的决定性的推动,他引进了单纯逼近方法,以证明欧氏空间维数不变性,区域不变性,若尔当曲线定理在高维的推广,闭球体上连续映射不动点的存在性,向量场奇点的存在性,并定义了映射度和紧度量空间维数概念.有理由认为庞加莱与布劳威尔共同创建了组合拓扑学,更精确地说,庞加莱确定了组合拓扑学的对象,包括引进了一批基本定义,罗列了一批有待严格证明的重要“定理”,而布劳威尔则设计了决定性的方法——单纯逼近,获得上述一批自己的定理.后人运用它得以证明庞加莱的“定理”.例如,亚历山大(Alexander,J.W.)于1915年运用单纯逼近完成贝蒂数和挠系数是拓扑不变性的证明.这样一来,组合拓扑学在概念精确和论证严密两方面都达到了应有标准.

公理化代数学的奠基人之一的诺特(Nöther,A.E.)于1926年在一篇论文中首次提出用群来表示同调论.这影响到霍普夫(Hopf,H.)和维托利斯(Vietoris,L.),他们立即采用,从此同调的研究便以同调群、同调模以及同调环等为对象.组合拓扑学实现了代数化而成为代数拓扑学,抽象代数学成了拓扑学的基本哲学武器.20世纪30年代的重要成就有:德拉姆定理,霍普夫三维球面到二维球面的非零伦映射,上同调群及上同调乘积的定义,高维同伦群的定义.20世纪40年代得到同调论的公理化,建立了同调代数学,并且发明了谱序列和建立了束论,使20世纪50年代以后的代数拓扑学突飞猛进.其间微分拓扑学的协边理论和受到代数学、代数几何学和微分拓扑学影响而产生的K理论都是广义的同调论.并已从理论上弄清了,同调论(包括广义的在内)本质上是同伦论的一部分.

还应强调的一个交叉发展是对紧度量空间或更一般的空间,先后由亚历山大罗夫(Александров,П.С.)、维托利斯和切赫(Čech,E.)引进了同调概念,现时称为奇异同调及上同调和切赫同调及上同调等,这标志着组合拓扑学或代数拓扑学与一般拓扑学的交汇和融合.

微分拓扑学[编辑]

微分拓扑学是研究微分流形和微分映射的拓扑学.微分流形是一个拓扑流形,其上带有一个分析学结构称为光滑结构.庞加莱建立组合拓扑学时的几何对象其实是微分流形,不过他关注的是拓扑性质而忽略了光滑结构.直到20世纪30年代,微分流形的研究才系统展开.凯恩斯(Cairns,S.S.)证明了微分流形均可剖分为组合流形,惠特尼(Whitney,H.)开始研究微分流形在欧氏空间中的嵌入和浸入,沙爱福(Seifert,H.R.I.)和惠特尼先后引进了纤维丛,惠特尼和施蒂费尔(Stiefel,E.L.)同时独立地引进示性类,而使微分流形的拓扑学的研究与同调论和同伦论结合起来,成为代数拓扑学的一个重要部分而得以发展.20世纪40年代,庞特里亚金(Понтрягин,Л.)和陈省身定义了新的示性类,吴文俊和托姆(Thom,R.)对示性类理论做了深入研究.20世纪50年代初,托姆在协边理论上突破,使困难的微分拓扑学问题化为同伦论的问题而得以解决.1956年,米尔诺(Milnor,J.W.)发现七维球面上除通常的光滑结构外还有另外的光滑结构,称为怪异结构,而轰动世界.其后凯伐勒(Kervaire,M.)构作出不能赋予任何光滑结构的组合流形.这些成果说明拓扑流形、组合流形和微分流形三种范畴之间有原则区别.从此微分拓扑学成为一个独立的拓扑学分支.20世纪60年代初期,斯梅尔(Smale,S.)运用莫尔斯理论证明了五维以上的广义庞加莱猜想,米尔诺发展了换球术技术,并首先应用于球面上光滑结构数目的计算,后被许多人推广应用于三种范畴的流形问题,到20世纪70年代初,已获得极大的成效.此时,流形拓扑学的研究已成为拓扑学的主流.

流形的研究[编辑]

在流形的研究中,人们最初从低维的几何对象着手.其中零维和一维的流形分类是平凡的,二维流形即曲面,其分类从19世纪黎曼起到20世纪初完成.从庞加莱时代到20世纪早期便主攻三维流形分类,同时还研究三维空间中的扭结,虽有重要进展但很缓慢.人们自然认为流形拓扑学研究所遇到的困难会随着流形的维数的增高而越来越大.然而,半个多世纪来的流形拓扑学历史表明事情正好相反,最困难的维数是三维和四维.之所以如此,是因为流形拓扑学的基本技术要用到一个被称为惠特尼技巧(Whitney trick)的重要引理,它在四维以下不再成立.20世纪70年代,低维拓扑学,即三维与四维的流形拓扑学,开始有重要突破.瑟斯顿(Thurston,W.P.)于20世纪70年代末,对三维流形分类运用双曲几何学而取得明显进展.在四维拓扑学方面,1982年春,弗里得曼(Fredman,M.)运用凯森(Casson,A.)环柄得到了单连通闭拓扑四维流形的拓扑分类,其中包括证明了四维广义庞加莱猜想;紧接着,唐纳森(Donaldson,S.K.)于1982年秋发现,四维单连通闭微分流形的性质很特殊.从这两人的结果立刻推论出四维欧氏空间R4上除通常的光滑结构外,还有怪异的光滑结构,而四维以外的欧氏空间上光滑结构是惟一的.进而又发现R4上有不可数多个互不微分同胚的怪异结构.这个惊人的结果发人深思.低维拓扑学由于其方法的特点,有时被称为几何拓扑学.还应注意,唐纳森定理是运用了理论物理学中的规范论而证明的,20世纪90年代,这个理论进一步被塞伯格(Seiberg,N.)和维滕(Witten,E.)发展,而使四维拓扑学进一步深入.

拓扑学现已逐步渗透到现代数学的几乎所有的分支,并可应用到物理、化学、生物以及经济学等学科.虽然拓扑学的结论本质上是定性的,但理论上往往极为重要.例如,不动点定理被推广到分析学中而成为某些类方程解的存在性的判据.直接在其他学科的应用可举核酸双螺旋的识别用到扭结理论,晶体和液晶的“缺陷”分类用到某些齐性空间同伦群的计算,集成电路布线应用示嵌理论等.目前这个渗透到其他学科的过程还在加速和加深,使20世纪数学面貌发生巨大变化.因此早已有人断言,“20世纪将作为拓扑学的世纪而载入数学史册”[法国数学家迪厄多内(Dieudonné,J.)].[1]

分支学科[编辑]

拓扑学的主要应用是在分子生物学中。当谈到脱氧核糖核酸的三级结构,就必然会谈到所谓的「超螺旋结构」。这种超螺旋结构可以解释为:发生螺旋缠绕的螺旋结构,换句话说,就是一个螺旋结构再一次进行螺旋缠绕。脱氧核糖核酸原本就是双股螺旋,而这双股螺旋又会再进一步进行螺旋缠绕,形成所谓的超螺旋结构。

拓扑学就是用来研究超螺旋结构的一种工具。拓扑学主要探讨的是在连续性变化中(比如因为温度改变而发生构型改变时,或因为与蛋白质作用而发生交互作用时)的变形现象。拓扑性质不包含非连续性变化时产生的变形作用(双股螺旋被剪开时的状况)。对于去氧核糖核酸而言,那些当没有打断股链时,不受变形现象而改变的性质就叫拓扑性质。拓扑性质的改变只受到打断股链或将股链粘合的影响。

著名學說[编辑]

注釋[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 出自《数学辞海(第二卷)》
  2. ^ 很多人寫成「拓」,有些是單純的訛誤,有些是因為對譯名用字的不同看法。
    雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網. 國家教育研究院. [2013-06-17檢索]. 

参考书目[编辑]

《数学辞海(第二卷)》山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社

参看[编辑]