组合数学

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广义的组合数学就是离散数学,狭义的组合数学图论代数结构数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之,组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展,组合数学的重要性也日渐凸显,因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态(也称组合模型)的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数组合设计组合矩阵组合优化最佳組合)等。

组合数学中的著名问题[编辑]

  • 計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關於排列組合整數分拆的。
  • 地图着色问题:对世界地图着色,每一個国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异,是否总共只需四种颜色?這是圖論的問題。
  • 船夫过河问题:船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场,羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河?這是線性規劃的問題。
  • 中国邮差问题:由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次,怎样行走走过的路程最短?这不是一个NP完全问题,存在多项式复杂度算法:先求出度为奇数的点,用匹配算法算出这些点间的连接方式,然后再用欧拉路径算法求解。這也是圖論的問題。
  • 任务分配问题(也称分配问题):有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少?這是線性規劃的問題。
  • 如何構造幻方
  • 大樂透

排列[编辑]

3个彩球的排列(不重复出现)

排列的任务是确定n个不同的元素的排序的可能性。从右边的示意图可看出,3个不同颜色的彩球一共有6种不同的排列方式,因此有如下定理:「n个不同的元素可以有n !种不同的排列方式,即n阶乘。」因此上面的例子的算法是3 ! = 6。
另一个问题,如果从n个元素中取出k个元素,这k个元素的排列是多少呢?公式如下:

 P_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

例如,在赌马游戏中一共有8匹马参加比赛,玩家需要在彩票上填入前三位胜出的马匹的号码,按照上面的公式,n = 8,k = 3,玩家一共可以填出的3匹马号的排列数为:

 P_8^3 =\frac{8!}{(8-3)!}=336

因为一共存在336种可能性,因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是:

 P = \frac{1}{336}= 0.00298

以上提到的都是在k不发生重复的情况下的排列。

如果在n个元素中取出k个元素进行排列,这k个元素可以重复出现,那么排列数则有如下公式:

n^k

还是上面的例子,k可以重复出现,这意味着玩家可以在前三名的位置上填入同一匹马号,因此在这种情况下可能出现的排列总数为:

83 = 512

另外,n^k也可以記為[1]

 U_n^k = n^k[1]

这时的一次性添入中奖的概率就应该是:

P=\frac{1}{512}=0.002(当然,同一匹马同时获得1,2,3名的情况在现实中是不存在的)

另一个来自数字技术的例子,在二进制中只有0和1两种状态,一个有x位的二进制数字可以有2x种排列方式,也即可以表达2x个不同的数字。

组合[编辑]

和排列不同的是,在组合中取出元素的顺序则不在考虑之中。从n个元素中取出k个元素,这k个元素可能出现的组合数为:

C_n^k ={n \choose k} = \frac{P_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

六合彩游戏為例。在六合彩游戏中从49个球中取出6个进行组合的可能性一共有:

C_{49}^{6}  = {49 \choose 6} = \frac{49!}{6!43!} = 13983816

如同排列,上面的例子是建立在如下前提的(即球从摇奖机中出来后不再放回去,或者说组合不发生重复),但如果球摇出来后再放回摇奖机中,这时的组合的可能性则是:

H_n^k = C_{n+k-1}^{k} = {n+k-1 \choose k}

类似的例子比如连续掷两次骰子,获得的两个点数的组合可能性一共有:

H_6^2 = C_{6+2-1}^{2} = {6+2-1 \choose 2} = C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = 21

另外H_n^r也可以記為[2]

F_n^r = H_n^r = C_{n+r-1}^{r} = {n+r-1 \choose r}[2]

总结[编辑]

排列
{ a,b } ≠ { b,a }
(考慮順序)
组合
{ a,b } = { b,a }
(不考慮順序)
不重复出现(不放回去)
{ a,b,c }
P_n^k C_n^k
重复出现(再放回去)
{ a,a,b }
n^k \,  H_n^k

外部連結[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392
  2. ^ 2.0 2.1 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33.  OCLC:44527392

参见[编辑]