随机变量

給定樣本空间$(S , \mathbb{F})$，其上的實值函數 $X:S \to \mathbb{R}$ 稱為(實值)隨機變量，如果 X 是 $\mathbb{F}$ (實值)可測函數。初等概率論中通常不涉及到可測性的概念，而直接把任何$X:S \to \mathbb{R}$的函數稱為隨機變量。

如果 $X$ 指定给概率空间 $S$ 中每一个事件 $e$ 一个实数 $X(e)$，同时针对每一个实数 $r$ 都有一个事件集合 $A_r$ 与其相对应，其中 $A_r=$ {$e : X(e)$ ≤ $r$}，那么$X$ 被称作随机变量。随机变量一般用大写拉丁字母或小写希腊字母 ( 比如 $X, Y, Z, \xi, \eta$ ) 来表示，从上面的定义注意到，随机变量实质上是函数，不能把它的定义与变量的定义相混淆，另外概率函数 $P$ 并没有在考虑之中。

实数坐标轴上的随机变量示意图

例如，随机掷两个骰子，整个事件空间可以由 36 个元素组成：

$S = \lbrace ( i, j ) | i=1, \ldots, 6,; j=1, \ldots,6 \rbrace$

这里可以构成多个随机变量，比如随机变量 $X$ ( 获得的两个骰子的点数和 ) 或者随机变量 $Y$ ( 获得的两个骰子的点数差)，随机变量 $X$ 可以有 11 个整数值，而随机变量 $Y$ 只有 6 个。

$X ( i, j ) := i+j , x=2,3,\ldots,12$

$Y ( i, j ) := \mid i-j \mid , y=0,1,2,3,4,5.$

又比如，在一次扔硬币事件中，如果把获得的国徽的次数作为随机变量 $X$，则 $X$ 可以取两个值，分别是 0 和 1。

如果随机变量 $X$ 的取值是有限的或者是可数无穷尽的值

$X = \lbrace x_1, x_2, x_3, \ldots, \rbrace$,

则称 $X$ 为离散随机变量。如果 $X$ 由全部实数或者由一部分区间组成，

$X = \lbrace x | a\le x \le b \rbrace$, $- \infty < a < b < \infty$

则称 $X$ 为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。

參見

• 概率论
• 隨機分佈
• 隨機性
• 隨機向量
• 隨機函數
• 生成函數
• 算法信息论