冪集

數學上，給定集合$S$，其冪集$\mathcal{P}(S)$（或作$2^S$）是以$S$的全部子集為元素的集合。以符號表示即為

$\mathcal{P}(S) := \{U | U \subseteq S\}$。

在公理集合論（例如ZFC公理系統建立的理論）中，冪集公理假定了任何集合的冪集均存在。

$\mathcal{P}(S)$的任何子集$F$稱為$S$上的集族。

例子

若$S$是集合$\{a, b, c\}$，則$S$的全部子集如下：

• $\varnothing$（空集）
• $\{a\}$
• $\{b\}$
• $\{c\}$
• $\{a, b\}$
• $\{a, c\}$
• $\{b, c\}$
• $\{a, b, c\}$

因此$S$的冪集為

$\mathcal{P}(S) = \{$$\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$, $\{a, b, c\}$$\}\,\!$。

性質

若$S$是有限集，有$|S|=n$個元素，那麼$S$的冪集有$|\mathcal{P}(S)| = 2^n$個元素。（其實可以——電腦也如此做——將$S$的元素表示為n位二進制數；第n位表示包含或不含$S$的第n個元素。這樣的數總共有$2^n$個。）

我們也可以考慮無窮集的冪集。以康托爾對角線方法可證明集合（不論是否無窮）的冪集的基數總是大於原來集合的基數（粗略的說，集合的冪集大於集合本身）。例如自然數集的冪集可以一一對應於實數集（把一個無窮0-1序列等同於有1出現的指數的集）。

集合$S$的冪集，加上併、交和補運算，就得出布爾代數的原始例子。我們可以證明所有有限布爾代數都是同構於某有限集的冪集的布爾代數。這結果雖然對無窮布爾代數不成立，但是所有無窮布爾代數都是某個冪集布爾代數的子代數。

集合$S$的冪集與對稱差運算構成一個阿貝爾群（其中空集為幺元，每個集合的逆元為其本身），而與交運算則構成交換半群。因此（可證明這兩運算適合分配律）這兩個運算使冪集成為一個環。

2^S的記法

在集合論中，$X^Y$是由所有從$Y$到$X$的函數構成的集合。因為$2$可以定義為$\{0,1\}$（見自然數），$2^S$這集合包含了所有從$S$到$\{0,1\}$的函數。把$2^S$內的函數等同於由這函數給出的$1$的原像，可看出在$2^S$和$\mathcal{P}(S)$之間有一一對應，其中每個函數是$\mathcal{P}(S)$中這函數所等同的子集的特徵函數。所以就集合論來說$2^S$和$\mathcal{P}(S)$是相同的。

外部链接

• MathWorld的「冪集」頁