空集

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空集是不含任何元素的集合,數學符號為\empty\varnothing\{\;\}

符号[编辑]

空集符號源自北歐拉丁字母,不是希臘字母。

空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小組创造,寫作\varnothing),首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一:集合論》(Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats)。這符號也可写作 \emptyset,有时候採用近似字符“Ø”,也可以使用大括號\{\;\}表示。

这符号源自北欧语言的拉丁字母Ø」,但常被誤會為希腊字母φ”。(φ有兩個寫法:小寫的\varphi和縮小了的大寫\phi\,,後者常被誤用為空集符號。\phi\,的中間为一長豎,中間的圈也較小,與\varnothing的斜線和大圓不同。)。

提出用北歐字母為符號的,是布爾巴基小組成員安德烈·韦伊。他在自傳寫道:

[J]'étais personnellement responsable de l'adoption du symbole Ø pour l'ensemble vide, ... Le Ø appartenait à l'alphabet norvégien, et j'étais seul dans Bourbaki à le connaître. [1]
採用Ø符號表示空集,是我個人的責任,……Ø屬於挪威語的字母,在布爾巴基中只有我懂得。

空集符號∅的Unicode編碼為U+2205,TeX代碼是\emptyset\varnothing(後者是AMS符號,很多人較喜歡後者的字形[2])。

性质[编辑]

(这里采用数学符号)。

  • 对任意集合 A,空集是 A子集
    A: ∅ ⊆ A
  • 对任意集合 A,空集和 A并集A
    A: A ∪ ∅ = A
  • 对任意集合 A,空集和 A交集为空集:
    A: A ∩ ∅ = ∅
  • 对任意集合 A,空集和 A笛卡尔积为空集:
    A: A × ∅ = ∅
  • 空集的唯一子集是空集本身:
    A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
  • 空集的冪集是僅包含空集的集合:
    2 = {∅}
  • 空集的元素个数(即它的)为;特別是,空集是有限的:
    Card (∅) = 0

集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素;那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的。

考慮空集為实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,空集是紧致集合,因为凡有限集合都是紧致的。

空集的闭包是空集。

空集和 0[编辑]

根据定义,空集有 0 个元素,或者称其势为 0。然而,这两者的关系可能更进一步:在标准的自然数的集合论定义中,0 被定义为空集。

常见问题[编辑]

空集不是;它是内部没有元素的集合,而集合就是。这通常是初学者的一个难点。将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助;袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质,即空集是任意集合 A 的子集。按照子集的定义,这条性质是说 {}每个元素 x都属于 A。若这条性质不为,那 {} 中至少有一个元素不在 A 中。由于 {}没有元素,也就没有 {} 的元素不属于 A 了,得到 {} 的每个元素都属于 A, 即 {}A 的子集。

空集的运算[编辑]

空集(作为集合)上的运算也可能使人迷惑。(这是一种运算。) 例如:空集元素的0,而它们的1(见空积)。 这可能看上去非常奇怪,空集中没有元素,他们是怎么相加和相乘的呢? 最终,这些运算的结果更多被看成是运算的问题,而不是空集的。比如,可以注意到 0 是加法的单位元,而 1 是乘法的单位元。

公理化集合论[编辑]

在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论公理化集合论中,空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分類公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如:若 A 是集合,则分离公理允许构造集合 B = {xA | xx},它就可以被定义为空集。

范畴论[编辑]

A 为集合,则恰好存在一個从 {}A函数 f,即空函数。 故此,空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象

空集只能通过一种方式转变为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

哲學層面[编辑]

尽管空集在数学中是一个标准,并被广泛接受,仍然有人对它表示怀疑。

Jonathan Lowe 认为,这一概念「无疑是数学历史上的里程碑,……;不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象」,但在另一方面,「我们所知的空集只是它 (1) 是个集合,(2) 没有元素,(3) 在没有元素的集合中唯一。然而,有很多东西『没有元素』,在集合论角度而言,叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的,因为它们不是集合。不清楚的是,为什么在集合中,没有元素的集合是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。」[3]

"To be is to be the value of a variable…"Journal of Philosophy,1984 (在书 Logic, Logic and Logic 中再次发表)中,小 George Boolos 认为許多集合論中的結論,也可以透過對个体进行复数量化英语Plural quantification來得到,所以無需把集合具体化為包含其他实体作为元素的实体。[4]

參考資料[编辑]

  1. ^ André Weil: Souvenirs d'apprentissage, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, p. 119. ISBN 3-7643-2500-3
  2. ^ Scott Pakin. The Comprehensive LaTeX Symbol List. p. 65. 2009-11-9 [2014-9-16]. 
  3. ^ E. J. Lowe. Locke. Routledge. 2005. 87. 
  4. ^ *George Boolos, 1984, "To be is to be the value of a variable," The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in his 1998 Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard Univ. Press: 54–72.