笛卡儿积

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数学中,两个集合XY笛卡儿积Cartesian product),又称直积,表示为X × Y,是所有可能的有序对組成的集合,其中有序對的第一个对象是X的成员,第二个对象是Y的成员。

X \times Y = \left\{ \left\langle x,y \right\rangle \mid x \in X \land y \in Y \right\}

舉個實例,如果集合X是13个元素的点数集合{ A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 },而集合Y是4个元素的花色集合{♠, ♥, ♦, ♣},则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合{ (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

笛卡儿积得名于笛卡儿,因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。

笛卡儿积的性质[编辑]

易见笛卡儿积满足下列性质:

A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)
A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)
(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

笛卡儿平方和n-元乘积[编辑]

集合X笛卡儿平方(或二元笛卡儿积)是笛卡儿积X × X。一个例子是二维平面R × R,(这里R实数集) - 它包含所有的点(x, y),这里的xy是实数(参见笛卡儿坐标系)。

为了幫助枚舉,可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列,从行和列的集合选择元素,以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在n个集合X1, ..., Xn上的n-元笛卡儿积:

X_1\times\ldots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}

实际上,它可以被等同为 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间R × R × R,这里的R同樣是指实数集。

无穷乘积[编辑]

对最常用的数学应用而言,上述定义通常已經足夠。但是,也可以在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积。如果I是任何指标集合,而

\{X_i\ | i \in I\}

是由I索引的集合的搜集,则我们定义

\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}

就是定义在索引集合上的所有函数的集合,使得这些函数在特定索引i上的值是Xi 的元素。

对在I中每个j,定义自

  \pi_{j}(f) = f(j) \

的函数

  \pi_{j} : \prod_{i \in I} X_i \to X_{j} \

叫做j投影映射

n-元组可以被看作在{1, 2, ..., n}上的函数,它在i上的值是这个元组的第i个元素。所以,在I是{1, 2, ..., n}的时候,这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义給出的是集合族

在无限情况,一個令人熟悉的特例是,當索引集合是自然数集\mathbb N,的时候:这正是其中第i项对应于集合X的所有无限序列的集合。再次,\mathbb R提供了这样的一个例子:

\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots

是实数的无限序列的搜集,可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候,类似于“笛卡儿指数”。這樣,在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身,而其他条件被平凡的满足了,所以这正是从IX的所有函数的集合。

在別的情況,无限笛卡儿积就不那麼直觀了;尽管在高等数学中的應用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理

函数的笛卡儿积[编辑]

如果f是从AB的函数,而g是从XY的函数,则它们的笛卡儿积f×g是从A×XB×Y的函数,带有

(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))

跟之前類似,函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。

外部链接[编辑]

参见[编辑]