拉回 (范畴论)

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范畴论中,一个数学分支,拉回(也称为纤维积笛卡尔方块)是由具有公共上域的两个态射 f : X → Zg : Y → Z 组成的图表极限。拉回经常写作

 P = X \times_Z Y.\,

泛性质[编辑]

明确地说,态射 fg 的拉回由一个对象 P 和两个态射 p1 : P → Xp2 : P → Y 组成,使得图表

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交换。并且拉回 (P, p1, p2) 对这个图表必须是通用的。这便是说,任何其它这样的三元组 (Q, q1, q2) 一定存在惟一的 u : Q → P 使得图表

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交换。和所有泛构造一样,拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。

弱拉回[编辑]

一个 cospan X → Z ← Y弱拉回是在 cospan 上面的只须满足弱泛性质,这就是说中间映射 u : Q → P 不必是惟一的。

例子[编辑]

集合范畴中, fg 的拉回是集合

X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\},\,

以及投影映射的限制 \pi_1\pi_2 映到 X × Z Y

  • 这个例子启发另一种方式考虑拉回:作为态射 f o p1, g o p2 : X × Y →  Z等化子,这里 X × YXY二元积

p1p2 是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上,由极限存在定理,在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。

拉回的另一个例子来自纤维丛理论:给定一个纤维映射 π : EB 以及一个连续映射 f : X → B,拉回 X ×B EX 上的纤维丛,称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。

在任何具有终对象 Z 的范畴中,拉回 X ×Z Y 恰好是普通积 X × Y

性质[编辑]

  • 如果 X ×ZY 存在,那么 Y ×Z X 也存在,且存在态射 X ×Z Y  \cong Y ×ZX
  • 单态射在拉回下不变 :如果箭头 f 单,那么它就是箭头 p2。例如,在集合范畴中, 如果 XZ 的子集,那么对任何 g : Y → Z,拉回X ×Z YXg 下的逆像
  • 同构态射也不变,因此 X ×X Y \cong Y 对任何映射 Y → X成立。

又见[编辑]

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]