拉回 (范畴论)

在范畴论中，一个数学分支，拉回（也称为纤维积或笛卡尔方块）是由具有公共上域的两个态射 f : X → Z 与 g : Y → Z 组成的图表的极限。拉回经常写作

$P = X \times_Z Y.\,$

泛性质 [编辑]

明确地说，态射 f 和 g 的拉回由一个对象 P 和两个态射 p₁ : P → X 与 p₂ : P → Y 组成，使得图表

交换。并且拉回 (P, p₁, p₂) 对这个图表必须是通用的。这便是说，任何其它这样的三元组 (Q, q₁, q₂) 一定存在惟一的 u : Q → P 使得图表

交换。和所有泛构造一样，拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。

一个 cospan X → Z ← Y 的弱拉回是在 cospan 上面的锥只须满足弱泛性质，这就是说中间映射 u : Q → P 不必是惟一的。

在集合范畴中， f 与 g 的拉回是集合

$X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\},\,$

以及投影映射的限制 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 映到 X × _Z Y 。

而 p₁ 与 p₂ 是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上，由极限存在定理，在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。

拉回的另一个例子来自纤维丛理论：给定一个纤维映射 π : E → B 以及一个连续映射 f : X → B，拉回 X ×_B E 是 X 上的纤维丛，称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。

在任何具有终对象 Z 的范畴中，拉回 X ×_Z Y 恰好是普通积 X × Y。

如果 X ×_ZY 存在，那么 Y ×_Z X 也存在，且存在态射 X ×_Z Y $\cong$ Y ×_ZX。
单态射在拉回下不变：如果箭头 f 单，那么它就是箭头 p₂。例如，在集合范畴中，如果 X 是 Z 的子集，那么对任何 g : Y → Z，拉回X ×_Z Y 是 X 在 g 下的逆像。
同构态射也不变，因此 X ×_X Y $\cong$ Y 对任何映射 Y → X成立。

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Originally published in 1965, by Harper & Row).