极限 (范畴论)

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數學裡的範疇論中,極限的概念融貫了多種構造,包括和、積等等;範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。

極限分為極限餘極限(又稱上極限),彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表:


餘極限/上極限(colimit) 正(向)極限(direct limit) 歸納極限(inductive limit)
極限(limit) 逆(向)極限(inverse limit) 投射極限/射影極限(projective limit)

本條目用語取歸納極限射影極限

定義[编辑]

範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上,C 中類型 J圖示是指一個由 J 映射至 C函子

F : JC.

範疇 J 稱之為「索引範疇」,圖示 F 可想做是以 J 索引 C 內的物件及態射。J 實際的物件及態射為何並不重要,關鍵在於之間的互動。

通常,最感興趣的情況是當類型J為小範疇有限範疇之時,此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

極限[编辑]

F : JC 為一個在範疇 C 中類型 J 的圖示。一個對應於 F 的「錐體」是指 C 中的一物件 N ,具有可以 J 內之物件 X 索引的態射族 ψX : NF(X),使得對每個 J 內的態射 f : XY,均有 F(f) o ψX = ψY

圖示 F : JC極限是一個對應於 F 的錐體 (L, φ),使得對所有其他對應於 F 之錐體 (N, ψ),總存在一個「唯一的」態射 u : NL,使得對所有 J 中的 X,φX o u = ψX

A universal cone

可以說,錐體 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成錐體 (L, φ)。此一態射 u 有時稱為「中介態射」。

極限亦稱之為「泛錐體」,因為其所具有之泛性質(詳見下文)。如同每個泛性質一般,上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態:極限物件 L 夠一般,能讓所有其他錐體分解;另一方面,L 也必須夠特殊,每個錐體都只可能有「一個」因子。

極限也可視為是在對應於 F錐體範疇內的終對象

圖示可能不存在極限;但若一個圖示存在極限,則此一極限一定是唯一的:在同構下是唯一的。

上極限[编辑]

極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉,以得到上極限及上錐體之定義,但下文仍將明確敘明之:

圖示 F : JC 的「上錐體是指 C 中的一物件 N,具有可以每個 J 中的物件 X 索引的態射族

ψX : F(X) → N

使得對每個 J 內的態射 f : XY,均有 ψY o F(f)= ψX

圖示 F : JC上極限F 的上錐體 (L, \phi),使得對所有其他對應於 F 的上錐體 (N, ψ),總存在一個「唯一的」態射 u : LN,使得對所有 J 中的 Xu o \phiX = ψX

A universal co-cone

上極限也稱為「泛上錐體」,也可視為是在對應於 F上錐體範疇內的始對象

如同極限一般,若圖示 F 存在上極限,則此上極限在同構下是唯一的。

歸納系統與射影系統[编辑]

以下固定一個範疇\mathcal{C},並探討其中的極限。為避免集合的悖論,我們將固定一個宇宙\mathcal{U},並假定\mathcal{C}\mathcal{U}-範疇,即:對任意兩個對象X, Y,態射集\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)同構於\mathcal{U}裡的某個集合。\mathbf{Set}表所有\mathcal{U}裡的集合構成的範疇。

I為對\mathcal{U}的一個小範疇,所謂歸納系統(或稱I-圖)係指一個函子\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}射影系統則指一函子\beta: I^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathcal{C}

形象地說,歸納系統不外是給定\mathcal{C}中一族對象\{X_i : i \in I\},對每個態射i \rightarrow j都有\mathcal{C}中對應的態射X_i \rightarrow X_j,且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向:X_i \leftarrow X_j

固定一對象X \in \mathcal{C},對任意歸納系統α或射影系統β,可定義從I^\mathrm{op}\mathbf{Set}的函子

\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(\alpha, X): i \mapsto \mathrm{Hom}(\alpha(i), X)
\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, \beta): i \mapsto \mathrm{Hom}(X, \beta(i))

我們將遵循可表函子的哲學,從集合的射影極限出發。暫設\mathcal{C} = \mathbf{Set}\mathbf{Set}上的歸納系統不外是I上的預層。給定一個歸納系統β,定義:

\varprojlim \beta := \{ (x_i) \in \prod_{i \in I} \beta(i) : \forall i,j \in I, s \in \mathrm{Hom}(i,j) \; \beta(s)(x_j) = x_i \}
(注意:若I是空範疇,對應的射影極限是單元素集合。)

可手工驗證下述自然同構:

\mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \varprojlim \beta) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \beta)

若干例子[编辑]

始對象與終對象[编辑]

I為空範疇,此時的歸納極限與射影極限(若存在)便分別滿足泛性質

\forall X \in \mathcal{C},  |\mathrm{Hom}(X, \varprojlim \emptyset)| =  |\mathrm{Hom}(\varinjlim \emptyset, X)| = 1

這不外就是\mathcal{C}裡的始對象終對象

纖維積與纖維餘積[编辑]

I為離散範疇(即:其間只有恆等態射),此時歸納及射影系統不外只是一族\mathcal{C}的對象\{ X_i: i \in I \},對應的歸納極限及射影極限稱作餘積(又稱上積)與

I為範疇\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet;設\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}對應於Y_1 \stackrel{f_1}{\longleftarrow} X \stackrel{f_2}{\longrightarrow} Y_2。若其歸納極限存在,稱之Y_1, Y_2X纖維餘積,寫作Y_1 \sqcup_X Y_2

對偶地看,對於\beta: I^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C},對應於X_1 \stackrel{f_1}{\longrightarrow} Y \stackrel{f_2}{\longleftarrow} X_2,若其射影極限存在,稱之X_1, X_2Y纖維積,寫作X_1 \times_Y X_2

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象(或始對象),則積(或餘積)可視為對該對象的纖維積(或纖維餘積)。

核與上核[编辑]

核(kernel)與餘核(cokernel,又譯上核),有時也稱等化子(equalizer)與餘等化子(coequalizer)。考慮對應到 X_0 \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows} } X_1 的歸納或射影系統,此時的歸納極限\mathrm{Coker}(f,g)稱作上核,射影極限\mathrm{Ker}(f,g)稱作核。它們的泛性質圖解如下:

DiagramKernelCokernel.png

加法範疇中僅須考慮g=0的狀況,上述概念遂歸結為同調代數所探討的的核與餘核。

性質[编辑]

極限之交換[编辑]

I,J為小範疇,\alpha: I \times J \rightarrow \mathcal{C}為歸納系統,則有自然同構

\varinjlim_{i,j} \alpha(i,j)  = \varinjlim_i \varinjlim_j \alpha(i,j) = \varinjlim_j \varinjlim_i \alpha(i,j)

將箭頭反向,對射影系統\beta: (I \times J)^\mathrm{op} = I^\mathrm{op} \times J^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}亦有自然同構

\varprojlim_{i,j} \beta(i,j)  = \varprojlim_i \varprojlim_j \beta(i,j) = \varprojlim_j \varprojlim_i \beta(i,j)

歸納極限與射影極限通常不交換,一個格外有用的結果是:若I濾通範疇,則\varinjlim_I與任意\varprojlim_J交換。

完備性[编辑]

若一個範疇內存在任意的(小)射影極限,則稱之完備範疇;完備的充要條件是存在任意的積與核。

將箭頭反向,遂得到上完備範疇的定義及其充要條件。

正合函子[编辑]

考慮一個函子F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C'}

  • \mathcal{C}裡存在任意的有限射影極限,且F與有限射影極限交換,則稱F左正合
  • \mathcal{C}裡存在任意的有限歸納極限,且F與有限歸納極限交換,則稱F右正合
  • 若上述條件同時被滿足,則稱F正合

阿貝爾範疇中,上述定義回歸到同調代數中的定義。

根據極限的泛性質,\mathrm{Hom}(-,-)函子無論對哪個變數都是左正合的。

(F,G)是一對伴隨函子。若\mathcal{C}存在任意有限歸納極限,則F右正合;若存在任意有限射影極限,G左正合。此法可建立許多函子的正合性。

具體實例[编辑]

集合論[编辑]

  • 定義中已構造集合的(小)射影極限。對於任意一個小範疇I及歸納系統\alpha: I \rightarrow \mathbf{Set},其歸納極限亦存在,定義為下述商集:
\varinjlim \alpha := \dfrac{\coprod_{i \in I} \alpha(i)}{(\exists i_1 \rightarrow \cdots \rightarrow i_n, x \in \alpha(i_1) \mapsto \cdots \mapsto y \in \alpha(i_n)) \Rightarrow (x \sim y)}
  • 兩個集合的纖維積與上積為
Y_1 \sqcup_X Y_2 = Y_1 \sqcup Y_2 / \{ f_1(y_1) = f_2(y_2) \Rightarrow x_1 \sim x_2~\}
X_1 \times_Y X_2 = \{(x_1,x_2) \in X_1 \times X_2 : f(x_1)=f(x_2) \}
  • f,g: X_0 \rightarrow X_1,則
\mathrm{Ker}(f,g) = \{x_0 \in X_0 : f(x_0)=g(x_0) \},這是「等化」一詞的來由。
\mathrm{Coker}(f,g) = X_1 / \{\forall x_0 \in X_0, f(x_0) \sim g(x_0) \}
  • \mathbf{Set}是完備且上完備的。

拓撲空間[编辑]

拓撲空間範疇\mathbf{Top}也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同,惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。

特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限,此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在泛函分析同倫理論中特別有用。

一個拓撲空間X滿足豪斯多夫性質的充要條件是p_1, p_2: X \times X \rightarrow X的核\Delta: X \rightarrow X \times X是閉浸入,將此性質推廣到概形上,則得到分離概形

概形[编辑]

概形範疇\mathbf{Sch}(或相對版本\mathbf{Sch}_{/S})有終對象\mathrm{Spec}\mathbb{Z}(或S),並存在有限的纖維積。

抽象代數[编辑]

阿貝爾群範疇\mathbf{Ab}或一個環R上的模範疇\mathbf{Mod}_R都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。

射影極限的一個典型例子是p進整數\mathbb{Z}_p := \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}

文獻[编辑]

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結[编辑]