极限 (范畴论)

在數學裡的範疇論中，極限的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。

極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：

餘極限/上極限（colimit）	正（向）極限（direct limit）	歸納極限（inductive limit）
極限（limit）	逆（向）極限（inverse limit）	投射極限/射影極限（projective limit）

本條目用語取歸納極限與射影極限。

定義

以下固定一個範疇$\mathcal{C}$，並探討其中的極限。為避免集合的悖論，我們將固定一個宇宙$\mathcal{U}$，並假定$\mathcal{C}$是$\mathcal{U}$-範疇，即：對任意兩個對象$X, Y$，態射集$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)$同構於$\mathcal{U}$裡的某個集合。$\mathbf{Set}$表所有$\mathcal{U}$裡的集合構成的範疇。

歸納系統與射影系統

設$I$為對$\mathcal{U}$的一個小範疇，所謂歸納系統（或稱I-圖）係指一個函子$\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}$，射影系統則指一函子$\beta: I^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathcal{C}$。

形象地說，歸納系統不外是給定$\mathcal{C}$中一族對象$\{X_i : i \in I\}$，對每個態射$i \rightarrow j$都有$\mathcal{C}$中對應的態射$X_i \rightarrow X_j$，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向：$X_i \leftarrow X_j$。

固定一對象$X \in \mathcal{C}$，對任意歸納系統α或射影系統β，可定義從$I^\mathrm{op}$到$\mathbf{Set}$的函子

$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(\alpha, X): i \mapsto \mathrm{Hom}(\alpha(i), X)$

$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, \beta): i \mapsto \mathrm{Hom}(X, \beta(i))$

集合的射影極限

我們將遵循可表函子的哲學，從集合的射影極限出發。暫設$\mathcal{C} = \mathbf{Set}$，$\mathbf{Set}$上的歸納系統不外是$I$上的預層。給定一個歸納系統β，定義：

$\varprojlim \beta := \{ (x_i) \in \prod_{i \in I} \beta(i) : \forall i,j \in I, s \in \mathrm{Hom}(i,j) \; \beta(s)(x_j) = x_i \}$

（注意：若$I$是空範疇，對應的射影極限是單元素集合。）

可手工驗證下述自然同構：

$\mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \varprojlim \beta) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \beta)$

這是一般極限的原型。

一般範疇裡的極限

給定歸納系統α（或射影系統β），分別定義函子如下：

$\varinjlim\alpha := X \mapsto \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(\alpha, X)$

$\varprojlim \beta  := X \mapsto \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, \beta)$

若上述任一函子可表，則將对应的對象用同樣符號記為$\varinjlim \alpha$或$\varprojlim \beta$，若不致混淆，通常也寫作$\varinjlim_i \alpha(i)$或$\varprojlim_i \beta(i)$。根據可表函子的一般理論，它們在同構的意義下是唯一的。

根據定義，可直接得到極限的泛性質（圖解如右）：

$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(\varinjlim\alpha, X) \cong \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(\alpha, X)$

$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, \varprojlim \beta) \cong \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, \beta)$

由此亦可得到自然映射$\rho_i: \varprojlim \beta \rightarrow \beta(i)$與$\sigma_i: \alpha(i) \rightarrow \varinjlim \alpha$。

其它描述

定義一個從$\mathcal{C}$至$\mathcal{C}^I$的「對角」函子：

$\Delta: X \in \mathcal{C} \mapsto (\forall i \in I \mapsto X), (i \rightarrow j) \mapsto \mathrm{id}_X$

則極限的定義可重述為

• $\varinjlim \alpha$ 表示函子 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^I}(\alpha, \Delta(-))$
• $\varprojlim \beta$ 表示函子 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^I}(\Delta(-), \beta)$

若干例子

始對象與終對象

令$I$為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質

$\forall X \in \mathcal{C}, |\mathrm{Hom}(X, \varprojlim \emptyset)| = |\mathrm{Hom}(\varinjlim \emptyset, X)| = 1$

這不外就是$\mathcal{C}$裡的始對象與終對象。

纖維積與纖維餘積

令$I$為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族$\mathcal{C}$的對象$\{ X_i: i \in I \}$，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與積。

令$I$為範疇$\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet$；設$\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}$對應於$Y_1 \stackrel{f_1}{\longleftarrow} X \stackrel{f_2}{\longrightarrow} Y_2$。若其歸納極限存在，稱之$Y_1, Y_2$對$X$的纖維餘積，寫作$Y_1 \sqcup_X Y_2$。

對偶地看，對於$\beta: I^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}$，對應於$X_1 \stackrel{f_1}{\longrightarrow} Y \stackrel{f_2}{\longleftarrow} X_2$，若其射影極限存在，稱之$X_1, X_2$對$Y$的纖維積，寫作$X_1 \times_Y X_2$。

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。

核與上核

核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到 $X_0 \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows} } X_1$ 的歸納或射影系統，此時的歸納極限$\mathrm{Coker}(f,g)$稱作上核，射影極限$\mathrm{Ker}(f,g)$稱作核。它們的泛性質圖解如下：

在加法範疇中僅須考慮$g=0$的狀況，上述概念遂歸結為同調代數所探討的的核與餘核。

性質

極限之交換

設$I,J$為小範疇，$\alpha: I \times J \rightarrow \mathcal{C}$為歸納系統，則有自然同構

$\varinjlim_{i,j} \alpha(i,j) = \varinjlim_i \varinjlim_j \alpha(i,j) = \varinjlim_j \varinjlim_i \alpha(i,j)$

將箭頭反向，對射影系統$\beta: (I \times J)^\mathrm{op} = I^\mathrm{op} \times J^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}$亦有自然同構

$\varprojlim_{i,j} \beta(i,j) = \varprojlim_i \varprojlim_j \beta(i,j) = \varprojlim_j \varprojlim_i \beta(i,j)$

歸納極限與射影極限通常不交換，一個格外有用的結果是：若$I$是濾通範疇，則$\varinjlim_I$與任意$\varprojlim_J$交換。

完備性

若一個範疇內存在任意的（小）射影極限，則稱之完備範疇；完備的充要條件是存在任意的積與核。

將箭頭反向，遂得到上完備範疇的定義及其充要條件。

正合函子

考慮一個函子$F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C'}$。

• 若$\mathcal{C}$裡存在任意的有限射影極限，且$F$與有限射影極限交換，則稱$F$為左正合。
• 若$\mathcal{C}$裡存在任意的有限歸納極限，且$F$與有限歸納極限交換，則稱$F$為右正合。
• 若上述條件同時被滿足，則稱$F$為正合。

在阿貝爾範疇中，上述定義回歸到同調代數中的定義。

根據極限的泛性質，$\mathrm{Hom}(-,-)$函子無論對哪個變數都是左正合的。

設$(F,G)$是一對伴隨函子。若$\mathcal{C}$存在任意有限歸納極限，則$F$右正合；若存在任意有限射影極限，$G$左正合。此法可建立許多函子的正合性。

具體實例

集合論

• 定義中已構造集合的（小）射影極限。對於任意一個小範疇$I$及歸納系統$\alpha: I \rightarrow \mathbf{Set}$，其歸納極限亦存在，定義為下述商集：

$\varinjlim \alpha := \dfrac{\coprod_{i \in I} \alpha(i)}{(\exists i_1 \rightarrow \cdots \rightarrow i_n, x \in \alpha(i_1) \mapsto \cdots \mapsto y \in \alpha(i_n)) \Rightarrow (x \sim y)}$

• 兩個集合的纖維積與上積為

$Y_1 \sqcup_X Y_2 = Y_1 \sqcup Y_2 / \{ f_1(y_1) = f_2(y_2) \Rightarrow x_1 \sim x_2~\}$

$X_1 \times_Y X_2 = \{(x_1,x_2) \in X_1 \times X_2 : f(x_1)=f(x_2) \}$

• 設$f,g: X_0 \rightarrow X_1$，則

$\mathrm{Ker}(f,g) = \{x_0 \in X_0 : f(x_0)=g(x_0) \}$，這是「等化」一詞的來由。

$\mathrm{Coker}(f,g) = X_1 / \{\forall x_0 \in X_0, f(x_0) \sim g(x_0) \}$

• $\mathbf{Set}$是完備且上完備的。

拓撲空間

拓撲空間範疇$\mathbf{Top}$也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同，惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。

特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限，此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在泛函分析及同倫理論中特別有用。

一個拓撲空間$X$滿足豪斯多夫性質的充要條件是$p_1, p_2: X \times X \rightarrow X$的核$\Delta: X \rightarrow X \times X$是閉浸入，將此性質推廣到概形上，則得到分離概形。

概形

概形範疇$\mathbf{Sch}$（或相對版本$\mathbf{Sch}_{/S}$）有終對象$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$（或$S$），並存在有限的纖維積。

抽象代數

阿貝爾群範疇$\mathbf{Ab}$或一個環$R$上的模範疇$\mathbf{Mod}_R$都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。

射影極限的一個典型例子是p進整數：$\mathbb{Z}_p := \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結

• Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira