自然變換

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數學範疇論中,自然變換是將一個函子變為另一個函子,使相關範疇的內在結構(就是態射間的複合)得以保持。因此可以將自然變換視為「函子間的態射」。這一看法其實也能形式化,定義出函子範疇。自然變換與範疇及函子一樣,都是範疇論很基本的概念。

定義[编辑]

CD是範疇,FGCD之間的函子。一個從FG自然變換η,對C中每個對象,給出一個在D的對象間的態射ηX : F(X) → G(X),稱為η在X處的分量component),使得對C中每個態射f : XY都有:

\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X

上式可表達為交換圖表

Natural transformation.svg

如果FG都是反變函子,將圖表中的水平箭號方向反轉。若η是從FG 的自然變換,可記為η : FGη : FG。這也可表達為態射族ηX : F(X) → G(X)X中是自然的。

若對C中每個對象X,態射ηX是在D中的同構,則稱η為自然同構。對兩個函子FG,若存在從FG 自然同構,則稱FG自然同構的,或簡稱為同構的

自然變換的運算[编辑]

η : FGε : GH是函子F,G,H : CD間的自然變換,則可以將之複合得到自然變換ε ⋅ η : FH,其分量為(ε ⋅ η)X = εXηX。這種「垂直複合」有結合律,並有單位元。這個複合運算可以使全部函子CD形成一個範疇。(見下節函子範疇。)

自然變換也有「水平複合」。若η : FG是函子F,G : CD間的自然變換,ε : JK是函子J,K : DE間的自然變換,則可用函子間的複合得出自然變換間的複合\eta\circ\epsilon : JF \to KG。這個運算也有結合律,並有單位元,單位元和「垂直複合」的單位元相同。以上兩種複合之間有一條恆等式,這條恆等式將垂直和水平複合兩者交換。

η : FG是函子F,G : CD間的自然變換,而H : DE是另一個函子,那麼自然變換Hη : HFHG定義為

 (H \eta)_X = H \eta_X.

K : BC是一個函子,自然變換ηK : FKGK定義為

 (\eta K)_X = \eta_{K(X)}.\,

函子範疇[编辑]

C是一個範疇,I是一個小範疇,那麼可以形成函子範疇 CI,其對象為所有從IC的函子,而其態射為這些函子間的自然變換。如此形成的是一個範疇,因為對任何函子F都有一個單位自然變換1F : FF(對每個對象X都給出F(X)上的單位態射。),而兩個自然變換的複合(上述的「縱向複合」)也是一個自然變換。

函子範疇CI中的同構恰好是自然同構,也就是說一個自然變換η : FG是自然同構,當且僅當存在一個自然變換ε : GF,使得ηε = 1Gεη = 1F

參考[编辑]