么半範疇

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張量範疇(tensor category),或曰么半範疇 (monoidal category), 直覺地講,是個配上張量積阿貝爾範疇(abelian category),可當作範疇化

定義[编辑]

數學中中,一個張量範疇(tensor category) (或稱幺半範疇 monoidal category) 是一個包含單一個對象的雙範疇(bicategory)。 更具體的描述:一個張量範疇

  • 一個範疇 \mathbb C;
  • 被賦予張量積,即一個二元函子
\otimes: \mathbb C\times\mathbb C\to\mathbb C;
  • 被賦予一個單位對象 I;
  • 被賦予三組自然同構映射
    • 結合子\alpha: \alpha_{A,B,C}: (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes(B\otimes C);
    • 左/右單位子: 自然同構映射 \lambda, \rho:
\lambda_A: I\otimes A\to A,
\rho_A: A\otimes I\to A;
  • 滿足以下相容條件:
A, B, C, D \in \mathbb C,
Monoidal-category-pentagon.png
Monoidal-category-triangle.png
都交換.///

在這以上兩道相容條件下,任何以結合子,左右單位子張量積組成的圖表都交換,因為 Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem): 每個幺半範疇都 幺半等價(monoidally equivalent) 於一嚴格幺半範疇(見下).

嚴格幺半範疇[编辑]

嚴格幺半範疇(strict monoidal category) 是個幺半範疇 ,其自然態射 \alpha, \lambda\rho 都是恆等影射.

取任一 範疇 \mathbb C, 我们可構築其 自由嚴格幺半範疇 \Sigma(\mathbb C):

  • 對象:其每一對象是一串由\mathbb C裡面的對象組成之有限序列 (A_1,\ldots, A_n);
  • 態射:當且僅當n=m時,我们在二個對象 (A_1,\ldots, A_n)(B_1,\ldots, B_m) 之間定義 態射:每 \Sigma(\mathbb C)-態射 是一串由 \mathbb C-態射組成的有限序列 (f_1:A_1\to B_1, \ldots, f_n:A_n\to B_n)
  • 張量積: 二個\Sigma(\mathbb C)-對象(A_1,\ldots, A_n)(B_1,\ldots, B_m)張量積, 我们定義為 此二有限序列之串接(concatenation) (A_1,\ldots, A_n, B_1,\ldots, B_m) ; 同樣地任何二 \Sigma(\mathbb C)-態射之張量積, 我们定義為其串接。

按:此算符 \Sigma ,向由任一 範疇 \mathbb C 配上 \Sigma(\mathbb C),可推廣到 \textbf{Cat} 上的嚴格-2-單子 (en:strict 2-monad) 。

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取任一範疇,若以其平常範疇積作張量積,以其終對象作單位對象,則成為一個張量範疇。 亦可取任一範疇,以其餘積(co-product)作張量積,以其始對象作單位對象,亦成一個張量範疇。 (此二例實為對稱么半範疇結構。) 但亦有許多張量範疇 (例如 R-Mod,如下),其張量積 既非 範疇積 亦非 範疇餘積。

以下舉張量範疇二例——向量空間範疇和集合範疇——並表明其類比:


R-Mod Set
取任一交換環 R, 各 R- 所成之 範疇 R-模 (若R 為一域, 則 R-模即 R-向量空間) 是一 對稱么半範疇;其張量積 ⊗ 與單位對象為:R. 範疇 為一對稱么半範疇賦有張量積 × 與單位對象 {*}.
單元結合代數為R-模之 一對象,賦上態射 \nabla:A\otimes A\rightarrow A\eta: R \rightarrow A 並滿足以下條件: A 么半群 為一對象 M ,配上態射 \circ: M \times M \rightarrow M

1: \{*\} \rightarrow M 並滿足

結合律 結合律
and
單位關係. 單位關係.
A 餘代數(coalgebra) 是一個 對象 C ,被賦予 態射

\Delta: C \rightarrow C \otimes C\epsilon:C\rightarrow R 並滿足以下條件:

內每一對象(即每一集合)S, 都被賦予 態射

\Delta: S \rightarrow S \times S\epsilon: S \rightarrow \{*\} 滿足以下條件:

餘結合律(coassociativity) 餘結合律(coassociativity)
and and
餘單位關係(coidentity relations). 餘單位關係(coidentity relations).
此 ε 是唯一的,因為 \{*\} (即一元集合)是個終對象.

相關的結構[编辑]

應用[编辑]

參考[编辑]

  • Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
  • Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
  • Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
  • Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
  • Baez, John, Definitions
  • : <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works