数学

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歐幾里得,西元前三世紀的希臘數學家,現在被認為是幾何之父,此畫為拉斐爾的作品《雅典學院》。

数学Mathematics)是利用符号语言研究數量[1]结构[2]变化[3][4]以及空间[1]等概念的一門学科,屬於形式科學的一種。借助语言阐述关系(如数量、结构、前后变化等关系)的学科,透過抽象化邏輯推理的使用,由計數計算量度和對物體形狀運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理定義中建立起嚴謹推導出的定理。[5](注意:公式不仅仅涉及到数量的关系,也涉及到性质的关系)。

基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及美索不達米亞古印度內的古代數學文本便可觀見。從那時開始,其發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀文藝復興時期,因为新的科學發現相作用而产生的數學革新導致了知識的加速发展,直至今日。[6]

今日,數學使用在不同的領域中,包括科學工程醫學經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學,就是數學本身,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其过程中也發現許多應用之处。[7]

詞源[编辑]

西方语言中“數學”(英语mathematics希腊语μαθηματικά)一詞源自於古希臘語μάθημαmáthēma),其有學習學問科學,以及另外還有個較狹意且技術性的意義-「數學研究」,即使在其語源內。其形容詞μαθηματικόςmathēmatikós),意義為和學習有關的用功的,亦會被用來指數學的。其在英语中表面上的複數形式,及在法语中的表面複數形式les mathématiques,可溯至拉丁文的中性複數mathematica,由西塞罗譯自希臘文複數τα μαθηματικάta mathēmatiká),此一希臘語被亚里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。[8][9]

「數學」一詞的大約产生于時期。多指象數之學,但有時也含有今天上的數學意義,例如,秦九韶的《數學九章》(《永樂大典》記,即《數書九章》也被宋代周密所著的《癸辛雜識》記爲《數學大略》)、《數學通軌》(明代柯尚遷著)、《数学钥》(清代杜知耕著)、《數學拾遺》(清代丁取忠撰), 直到1939年,經過中國數學名詞審查委員會研究“算學”與“數學”兩詞的使用狀況後,確認以“數學”表示今天意義上的數學含義。[10]

历史[编辑]

奇普印加帝國時所使用的計數工具。

數學有着久遠的歷史。它被認為起源於人類早期的生產活動;中國古代的六艺之一就有「數」[11],數學一詞在西方有希腊詞源μαθηματικός(mathematikós),意思是“学问的基础”,源于μάθημα(máthema,“科学,知识,学问”)。

史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質的多少、時間的長短等抽象的數量關係,如時間季節算術)也自然而然地產生了。古代的石碑及泥版亦證實了當時已有幾何的知識[12]

更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統,如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多不同的記數系統[13]

玛雅数字

從歷史時代的一開始,數學內的主要原理是為了做稅務貿易等相關計算,為了解數字間的關係,為了測量土地,以及為了預測天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对數量、结构、空间时间方面的研究。

到了16世纪,算术初等代数以及三角学初等数学已大体完备[14][15]。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换,微积分的概念也在此時形成。随着自然科学和技术的进一步发展,为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

從古至今,數學便一直不斷地延展,且與科學有豐富的相互作用,並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現,並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說,「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份,而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」[16]

形成、純數學與應用數學及美學[编辑]

牛頓(1643-1727),微積分的發明者之一。

數學出現於包含著數量、結構、空間及變化等困難問題內。一開始,出現於貿易土地測量及之後的天文學。今日,所有的科學都存在著值得數學家研究的問題,且數學本身亦存在了許多的問題。牛頓莱布尼兹微積分的發明者,費曼發明了費曼路徑積分,來用於推理及物理的洞察,而今日的弦理論亦生成為新的數學。一些數學只和生成它的領域有關,且用來解答此領域的更多問題。但一般被一領域生成的數學在其他許多領域內也十分有用,且成為數學概念的一般知識。即使是「最純的」數學通常亦有實際的用途,此一卓越的事實,被1963年諾貝爾物理獎得主維格納稱為「數學在自然科學中不可想像的有效性」[17]

如同大多數的研究領域,科學知識的爆發導致了數學的專業化。主要的分歧為純數學應用數學。在應用數學內,又被分成兩大領域,並且變成了它們自身的學科——統計學電腦科學

許多數學家談論數學的優美,其內在的美學。「簡單」和「一般化」即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明,如歐幾里得對存在無限多質數的證明,及加快計算的數值方法,如快速傅立葉變換高德菲·哈羅德·哈代在《一個數學家的自白》一书中表示其所相信的美學思維足夠使其進行純數學的研究。

符號、語言與精确性[编辑]

)

我們現今所使用的大部分數學符號在16世紀後才被發明出來的。[18]在此之前,數學以文字的形式書寫出來,這種形式會限制了數學的發展。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作,但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮:少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般,現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。

數學語言亦對初學者而言感到困難。如“或”和“只”這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者的,如“開放”和“”等字在數學裡有著特別的意思。數學術語亦包括如“同胚”及“可積性”等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的:數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。

嚴謹數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」,依著不可靠的直觀,而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。[19]在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同:希臘人期許著仔細的論點,但在牛頓的時代,所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日,數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時,其證明亦很難說是有效地嚴謹。

公理在傳統的思想中是「不證自明的真理」,但這種想法是有問題的。在形式上,公理只是一串符號,其只對可以由公理系統導出的公式之內容有意義。希爾伯特計劃即是想將所有的數學放在堅固的公理基礎上,但依據哥德爾不完備定理,每一不相矛盾的公理系統必含有一不可決定的公式;因而所有數學的最終公理化是不可能的。然而數學常常被想像成只是一些公理化的集合論,在此意義下,所有數學敘述或證明都可以寫成集合論的公式。

數學作為科學[编辑]

卡爾·弗里德里希·高斯稱數學為「科學之母」。[20]其拉丁原文為Regina Scientiarum,而其德語Königin der Wissenschaften(原意:科學的皇后),其對應於科學的單字意思為知識。而實際上,科學science在英語內的原文內也是這個意思,且無疑問地數學確實一門在此意思下的「科學」。將科學限定在自然科學則是在此之後的事。若認為科學是只指物理的世界時,則數學,至少是純數學不會是一門科學。愛因斯坦曾這樣描述著:「數學定律越和現實有關,它們越不確實;若它們越是確定的話,它們和現實越不會有關。」[21]

許多哲學家相信數學在經驗上不具可否證性[22],且因此不是卡爾·波普爾所定義的科学。但在1930年代時,在數學邏輯上的重大進展顯示數學不能歸併至邏輯內,且卡爾·波普爾推斷「大部份的數學定律,如物理及生物學一樣,是假設演繹的:純數學因此變得更接近其假設為猜測的自然科學,比它現在看起來更接近。」[23]然而,其他的思想家,如較著名的拉卡托斯,便提供了一個關於數學本身的可否證性版本。

另一觀點則為某些科學領域(如理論物理)是其公理為嘗試著符合現實的數學。而事實上,理論物理學家齊曼即認為科學是一種公眾知識且因此亦包含著數學。[24]在任何的情況下,數學和物理科學的許多領域都有著相同的地方,尤其是在假設的邏輯推論的探索。直覺實驗在數學和科學的猜想建構上皆扮演著重要的角色。實驗數學在數學中的重要性正持續地在增加,且計算英语computation)和模擬在科學及數學中所扮演的角色也越來越加重,減輕了數學不使用科學方法的缺點。在史蒂芬·沃爾夫勒姆2002年的書籍一種新科學中提出,計算數學應被視為其自身的一科學領域來探索。

數學家對此的態度並不一致。一些研究應用數學的數學家覺得他們是科學家,而那些研究純數學的數學家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領域內工作,且因此基本上是個哲學家。許多數學家認為稱他們的工作是一種科學,是低估了其美學方面的重要性,以及其做為七大博雅教育之一的歷史;另外亦有人認為若忽略其與科學之間的關聯,是假裝沒看到數學和其在科學與工程之間的交界導致了許多在數學上的發展此一事實。這兩種觀點之間的差異在哲學上產生了數學是被創造(如藝術)或是被發現(如科學)的爭議。大学院系划分中常见“科学和数学”系,这指出了这两个领域被看作同盟而非同一。實際上,數學家基本上會在大體上與科學家合作,但在細節上卻會分開。這亦是數學哲學眾多議題的其中之一個議題。

數學獎通常和其他科學的獎項分開。數學上最有名的獎為菲爾茲獎[25][26]創立於1936年,每四年頒獎一次。它通常被認為是數學的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項為阿貝爾獎,創立於2003年。兩者都頒獎於特定的工作主題,包括數學新領域的創新或已成熟領域中未解決問題的解答。著名的23個問題,稱為希爾伯特的23個問題,於1900年由德國數學家大衛·希爾伯特所提出。這一連串的問題在數學家之間有著極高的名望,且至少有九個問題已經被解答了出來。另一新的七個重要問題,稱為千禧年大獎難題,在2000年發表出來。每一個問題的解答都有著一百萬美元的獎金,只有一個問題(黎曼猜想)和希爾伯特的問題重複。

數學的各領域[编辑]

早期的數學完全著重在演算實際運算的需要上,有如反映在中國算盤上的一般。

如同上面所述一般,數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術代數幾何分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外,亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:至邏輯、至集合論基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。

基礎與哲學[编辑]

為了搞清楚數學基礎數學邏輯集合論等領域被發展了出來。

數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上,並研究此一架構的成果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論模型論證明論,且和理論電腦科學有著密切的關連性,千禧年大獎難題中的P/NP問題就是理論電腦科學中的著名問題[27]

 P \Rightarrow Q \, Venn A intersect B.svg MorphismComposition-01.png
數學邏輯 集合論 範疇論

纯粹数学[编辑]

數量[编辑]

數量的研究起於,一開始為熟悉的自然數整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質於數論中有詳細的研究,此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題:孿生質數猜想哥德巴赫猜想[28]

當數系更進一步發展時,整數被承認為有理數子集,而有理數則包含於實數中,連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成複數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數八元數。自然數的考慮亦可導致超限數,它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小,這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念:阿列夫数,它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。

1, 2, 3\,\! -2, -1, 0, 1, 2\,\!  -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
自然數 整數 有理數 實數 複數

結構[编辑]

許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為代數的領域。在此有一個很重要的概念,即向量,且廣義化至向量空間,並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域:數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內,即變化。

创立于二十世纪三十年代的法国布尔巴基学派认为:纯粹数学,是研究抽象结构的理论。 结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统。 布尔巴基学派认为,有三种基本的抽象结构:代数结构……),序结构偏序全序……),拓扑结构邻域极限连通性维数……)[29]

Elliptic curve simple.png Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg
數論 群論 圖論 序理論

空間[编辑]

空間的研究源自於幾何-尤其是欧几里得几何三角學則結合了空間及數,且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾里得幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何微分幾何代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述,結合了數和空間的概念;亦有著拓撲群的研究,結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中,拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域,並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理,龐加萊猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼證明[30],而四色定理已在1976年由凱尼斯·阿佩爾沃夫岡·哈肯用電腦證明[31],而從來沒有由人力來驗證過。

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sine cosine plot.svg Hyperbolic triangle.svg Torus.png Von koch 6 etapes.svg Measure illustration.png
幾何 三角學 微分幾何 拓撲學 分形 測度論

變化[编辑]

了解及描述變化在自然科學裡是一普遍的議題,而微積分更為研究變化的有利工具。函數诞生於此,做為描述一變化的量的核心概念。對於實數及實變函數的嚴格研究為實分析,而複分析則為複數的等價領域。黎曼猜想-數學最基本的未決問題之一-即以複分析來描述[32]泛函分析注重在函數的(一般為無限維)空間上。泛函分析的眾多應用之一為量子力學。許多的問題很自然地會導出數量與其變化率之間的關係,而這則被微分方程所研究著。在自然界中的許多現象可以被動力系統所描述;混沌理論明確化許多表現出不可預測的系統之行為,而且為決定性系統的行為。

Integral as region under curve.svg Vectorfield jaredwf.png Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.jpg Lorenz attractor.svg Princ Argument C1.svg
微積分 向量分析 微分方程 動力系統 混沌理論 複分析

離散數學[编辑]

離散數學是指對理論電腦科學最有用處的數學領域之總稱,包含有可計算理論計算複雜性理論資訊理論。可計算理論檢查電腦的不同理論模型之極限,包含現知最有力的模型-圖靈機[33]。複雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度;有些問題即使理論是可以以電腦解出來,但卻因為會花費太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實際上可行的,儘管電腦硬體的快速進步。最後,資訊理論專注在可以儲存在特定媒體內的資料總量,且因此有壓縮等概念。

做為一相對較新的領域,離散數學有許多基本的未解問題。其中最有名的為P/NP問題千禧年大獎難題之一。[34]一般相信此問題的解答是否定的。 [35]

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
組合數學 計算理論 密碼學 圖論

應用數學[编辑]

應用數學思考將抽象的數學工具運用在解答科學工商業及其他領域上之現實問題。應用數學中的一重要領域為統計學,它利用機率論為其工具並允許對含有機會成分的現象進行描述、分析與預測。大部份的實驗、測量及觀察研究需要統計對其資料的分析。(許多的統計學家並不認為他們是數學家,而比較覺得是合作團體的一份子。)數值分析研究如何有效地用電腦的方法解決大量因太大而不可能以人類的演算能力算出的數學問題;它亦包含了對計算中捨入誤差或其他來源的誤差之研究[36]

非數學[编辑]

数学不是占数术。数学的证明或反证明的意念都要在逻辑之中进行,占数术却非。

数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算,他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要但对会计师毫不重要。如高等抽象数学的发展不能改善簿记的精确性和效率,和会计学毫无关系。

数学不是物理学,虽然历史上和哲学上两者关系密切。

数学奖项[编辑]

菲尔茲奖牌正面

参见[编辑]

註記[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 mathematics, n.. Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012 [June 16, 2012]. "The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis." (英文)
  2. ^ Kneebone, G.T. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. 1963: 4. ISBN 0-486-41712-3. "Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness." (英文)
  3. ^ LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris. Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. 2011: 2. ISBN 1-4390-4957-2. "Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change." (英文)
  4. ^ Ramana. Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. 2007. 2.10. ISBN 0-07-066753-5. "The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus." (英文)
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  7. ^ Peterson
  8. ^ 牛津英語詞源詞典
  9. ^ 牛津英語詞典
  10. ^ 郭書春. 數學與算術、算學. 中國古代數學. 中國文化研究院. 
  11. ^ 《周礼·地官司徒·保氏》:「保氏掌谏王恶而养国子以道。乃教之六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭,五曰六书,六曰九数。」东汉的郑玄在他的《周礼注疏·地官司徒·保氏》中引郑司农(郑众)所言:「九数:方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要,今有重差、夕桀、勾股也。」
  12. ^ 數學. 台北市立北投國小. [2013-10-06]. 
  13. ^ 胡重光. 記數法的歷史及其對教學的啟示. 數學傳播: p80–84. [2013-10-06]. "人類最初的記數法,按使用的符號的性質,可大致分為三類。" 
  14. ^ 書評:《毛起來說三角》
  15. ^ 数学的三个发展时期——初等数学时期
  16. ^ Sevryuk
  17. ^ 蕭福坤(譯). 。 為什麼數學的用處這麼大?. 科學月刊. 1986.5, 197 [2013-10-06]. 
  18. ^ 不同數學符號的各別最早用途 (包含有更多的參考資料)
  19. ^ 參見無效證明來看什麼要在正式的證明中出錯的一些簡單例子。四色定理的歷史中則有個被亦其他數學家所接受的錯誤證明。
  20. ^ Waltershausen
  21. ^ 愛因斯坦,第28頁。愛因斯坦對問題的解答敘述:"how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?"他亦關心數學在自然科學中不可想像的有效性.
  22. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. 1998. 228. 
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参考书目[编辑]

参考网址[编辑]