多項式

在数学领域里，多項式是由變數以及標量（一般是實數或複數）經乘法及加法構法而成，屬於整式的代數式。下列四種都是多項式： 多項式中每一個 x n 皆稱之為多項式的項 次數：多項式 x n 中每一項的n為此項的次數 同次項：若有多個多項式，其中每一項的 x k 項稱之為同次項 首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為n，則稱此多項式為n次多項式

• $x-10\!$
• $y^2+2y-5\!$
• $x^2+y+5\!$
• $\frac{2}{3}+ \frac{c}{12}\!$

非多項式的例子：

• $\frac{12}{z}\!$
• $\frac{2}{x}+ \frac{y}{30}\!$

這些式子的變數位在分母，稱作分式，並非多項式。

$\ 2xy-yx+5$ 及 $\ xy+5$ 也是多項式，但若然$\ x$及$\ y$是可置換的變數，即$\ xy=yx$，則這两個多項式是相同的。

單項式是指可以純粹由乘法構法的多項式，如: $\ 10$、$\ x$ 及 $\ 10x^2y^2z^3$。單項式其實是不含加法或減法運算的整式.

（註：有說單項式不是多項式，而多項式是由起碼两個或以上的單項式相加起來而成。這是最常見單項式及多項式的定義。但多項式相加也可以是單項式，如 $\ (3x+4)+(-2x-4)=x$，這個區分令理論研究變得複雜。若然把單項式也歸納為多項式，則多項式相加的和也是多項式，情况比較簡單。）

幾何學中，多項式是最簡單的平滑曲線。簡單是指它僅由乘法及加法構法；平滑皆因它類同口語中的平滑——以數學述語來說，它是無限可微，即可以對它的所有高次微分都存在。事實上，多項式的微分也是多項式。

簡單及平滑的特點，使它在數值分析，圖論，以及電腦繪圖等，都發揮極大的作用。

歷史

多項式的研究，源於“代數方程求解”， 是最古老數學問題之一。有些代數方程，如x+1=0，在負數被接受前，被認為是無解的。另一些多項式，如f(x)=x² + 1，是沒有任何根的——嚴格來說，是沒有任何實數根。若我們容許複數，則實數多項式或複數多項式都是有根的，這就是代數基本定理。

能否用根式求解的方法，表達出多項式的根，曾經是文藝復興後歐洲數學主要課題。一元二次多項式的根相對容易。三次多項式的根需要引入複數來表示，即使是實數多項式的實數根。四次多項式的情況也是如此。經過多年，數學家仍找不到用根式求解五次多項式的一般方法，終於在1824年阿貝爾证明了这种一般的解法不存在，震掝數壇。數年後，伽羅華引入了群的概念，證明不存在用根式求解五次或以上的多項式的一般方法，其理論被引申為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論也證明了古希臘難題三等分角不可能。另一個難題化圓為方的不可能證明，亦與多項式有關，證明的中心是圓周率乃一個超越數，即它不是有理數多項式的根。

正式定義

給一個環 R（可以是實數環，複數環或其他）及一個變數 x，則多項式是以下代數式：

$\ f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n$，

當中 a₀, …, a_n 是 R 的元素。用 Σ表達法，有

$\ f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

容易證明，多項式的和或積都是多項式，即多項式組成一個環 R[x]，稱爲 R 上的（一元）多項式環。（註：在最一般的定義，a²x、xa² 及 axa 可以當作是不同的多項式，是不可置換環的例子。）

對於多變數多項式，我們可以類似方式定義。一個有 n 個變數的多項式，稱為 n元多項式。通常以 R[x,y,z] 表示 R 為係數環，x，y 及 z 為變數的多項式環。

在 $R[x_1,\ldots,x_n]$ 中，$ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 稱為單項式，其中 a∈ R是係數而 $k_1,\ldots,k_n$為非負整數，是 $x_1,\ldots,x_n$ 的次數。$k_1+\cdots+k_n$ 是這個單項式的次數。

多項式的項數

若多項式以最少的單項式之和呈現，則每一個單項式都被稱為此多項式的項，而項的數目稱為項數。

例如多項式 $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 的項數是四，故稱為四項式。當中的 $\ y^3$、 $\ 2x$、$\ 5$、 $-\frac{c}{12}$、都是此多項式的項。

以上例子中的多項式可以寫成四個以上單項式的和，如 $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}=y^3+3x-x+5-\frac{c}{12}$ 是五個單項式的和。是以必須強調最少的單項式之和 。

另外的例子是 $\ x-10$ 共有二項，此多項式稱二項式。

（註：若把 $\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則它只是三項式，分別是 $\ y^3$、 $\ 2x$、及 $5-\frac{c}{12}$。 ）

若是未知數X、Y、Z等若出現在分母裡、根號裡或是絕對值中，就不能定義為“多項式”。例如：

• $\ \frac{1}{x} +x^2+3$，因為出現在分母裡，所以不是多項式。
• $\ \sqrt{x} +x^2+3$，因為出現在根號裡，所以不是多項式。
• $\ |x| +x^2+3$，因為出現在絕對值裡，所以不是多項式。

變項與常數項

多項式中含有變數的項稱為變項，祇有數字的項稱為常數項。 例如多項式:$\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 中的 $\ y^3$ 、 $\ 2x$ 、 $-\frac{c}{12}$ 、 都是此多項式的變項。而$\ 5$是常數項。

（註：若把 $y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則 $5-\frac{c}{12}$ 才是常數項。 ）

多項式的“元”

多項式中的變數種類稱為元，各種變數以各字母表達(注:通常是x、y、z)，一個多項式有n種變數就稱為n元多項式。

例如：$\ y^9+5x^7-\frac{y^6}{12}+2x$ 中有$\ x$、$\ y$ 二元，是二元多項式。因有四項，可稱二元四項式。

多項式的次數

多項式中次數最高的項的次數,即此多項式的次數。

例如多項式：$\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}$ 中 $\ y^3$ 的次數最高，有三次方，故此多項式的次數為三。 因而此多項式可稱為三元三次四項式。$\ y^3$稱為三次項，$\ 2x$ 及 $\ \frac{c}{12}$稱為一次項或線性項，而 5 是 0 次項或常數項。

又例如多項式$\ x+y+3$ ，$\ y$ 與 $\ x$ 二項都是一次方，而常數項$\ 3$是零次方。故此多項式的次數為一。而此多項式項數為三，可稱為一次三項式。

常數項$\ 3$是零次方因為可被視為是 $3\times x^0$。而任何非零數字零次方都是1，故$3\times x^0;=3\times 1=3$，常數項的次數都為0。

又例如 $\ c^2x^3+3y^4$ 的首項是五次，次項是四次，所以是個三元五次多項式。（註：若把 $\ c^2x^3+3y^4$ 看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則第一項是三次而係數為 c² ，第二項是四次，是個二元四次多項式。 ）

多項式 p 的次數，記作 deg(p)，由英語 degree 而來。$\ 0=0x^{-1}=0x^0=0x^2=....$，所以0這一多項式不計次數，故稱為零多項式。常數多項式分為零次多項式和零多項式。所謂零次多項式是指每一个项（常数项除外）的係數都是0，而零多項式則指每一项的係數（包括常数项）都是0。1 次多項式又稱為 線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。

多项式的升幂及降幂排列

多项式可依各单项式元的次数排列。

次数从低到高是升幂排列。 例如：以下多项式，从$\ a_0 x^0$排到$\ a_n x^n$

$\ f(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.$

次数从高到低是降幂排列。 例如：以下多项式，从$\ a_nx^n$排到$\ a_0 x^0$

$\ f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 x^0.$

若一多项式为多元多项式，可依照其中一元排列。

例如:$\ 2x^5 y^2 + 7x^3 y^4 + 8x^1 y^6$是依X的次数排列。

亦可以y的次数排列。

例如:$\ 8y^6 x^1 + 7y^4 x^3 + 2y^2 x^5$

一元多項式

一元多項式中次數最高的項，稱為首項，其係數稱為該多項式的首項係數。如 $\ 3x^4-2x^2+x$ 的首項係數為 3。首項係數為 1 的多項式稱為首一多項式，如 $\ x^4-2x$。

因式分解

把一多项式分成几个整式的积，称为因式分解。这些整式可称因式。

以下是常用的因式分解公式

• $\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)= a(a-b)+b(a-b)$
• $\ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
• $\ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
• $\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• $\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
• $( a + b )^{n} = C^{n}_{0}a^{n} + C^{n}_{1} a^{n - 1} b + C^{n}_{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C^{n}_{n - 1} a b^{n - 1} + C^{n}_{n}b^{n}$
  • $C^{n}_{m} = \frac{n!}{(n - m)!m!}$
  • $C^{n}_{0} = C^{n}_{n} = 0! = 1$

多项式的运算

多项式乘法

把两个多项式相乘时，第一个多项式的每一个项都要与第二个多项式的每一个项相乘。例如：

$(x+2)(2x-5)\,$

等于

$2x^2+4x-5x-10 = 2x^2-x-10.\,$

多项式除法

多项式的除法与整数的除法类似。

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

　　如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

例如，计算$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3}$。

$\begin{matrix} \qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\ \qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123 \end{matrix}$

因此，商是$\ x^2 - 9x - 27$，餘式是$\ -123$。 缺項補0

多项式座标图例子

一些低次数的多项式座标图：

2次多项式: f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)	3次多项式: f(x) = x3/5 + 4x2/5  - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
4次多项式: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	5次多项式: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

多項式函數及多項式的根

給出多項式 f∈R[x₁,...,x_n] 以及一個 R-代數 A。對 (a₁...a_n)∈Aⁿ，我們把 f 中的 x_j 都換成 a_j，得出一個 A 中的元素，記作 f(a₁...a_n)。如此， f 可看作一個由 Aⁿ 到 A 的函數。

若然 f(a₁...a_n)=0，則 (a₁...a_n) 稱作 f 的根或零點。

例如 f=x²+1。若然考慮 x 是實數、複數、或矩陣，則 f 會無根、有兩個根、及有無限個根！

例如 f=x-y。若然考慮 x 是實數或複數，則 f 的零點集是所有 (x,x) 的集合，是一個代數曲線。事實上所有代數曲線由此而來。

代數基本定理

代數基本定理是指所有一元 n 次（複數）多項式都有 n 個（複數）根。

多項式的幾何特性

多項式是簡單的連續函數，它是平滑的，它的微分也必定是多項式。

泰勒多項式的精神便在於以多項式逼近一個平滑函數，此外閉區間上的連續函數都可以寫成多項式的均勻極限。

任意環上的多項式

多項式可以推廣到係數在任意一個環的情形，請參閱條目多項式環。