多項式

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多项式代数学中的基础概念,是由称为不定元变量和称为系数常数通过有限次加减法乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。多项式是整式的一种。不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。

多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。

定義[编辑]

给定一个 RR 通常是交换环,可以是有理数实数或者复数等等)以及一个不定元 X,则任何形同:

 a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n - 1} X^{n - 1} + a_n X^n

的代数表达式叫做 R 上的一元多项式。其中 a0, …, anR 中的元素。不定元不代表任何值,但环R上的所有运算都对它适用。在不至于混淆的情形下,一般将一元多项式简称为多项式。可以证明,两个多項式的和、差与積仍然是多項式,即多項式組成一個環 R[X],稱爲 R 上的(一元)多項式環。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式,即形同

 p_0(X_1) + p_1(X_1) X_2 + \cdots + p_{n_2 - 1}(X_1) X_2^{n_2 - 1} + p_{n_2} (X_1) X_2^{n_2}

的代数表达式。其中 p_0(X_1), p_1(X_1) , \cdots ,  p_n (X_1)都是 R[X1] 中的元素。全体这样的表达式也构成一个环,记为R[X1, X2]。以此类推,可以定义所有m元多項式集合:R[X1, X2, ... , Xm]

多项式总可以表示为有限个元素的和,其中每个元素都是不定元与R中一个常数的乘积,这样的元素称为多项式的,其中的常数称为该项的系数。在  R[X_1,\ldots,X_m] 中,多项式的每一项都是形同 a X_1^{k_1}X_2^{k_2}\cdots X_m^{k_m} 的乘积形式。其中a 是系数,ki被称为Xi在这一项中的次数。所有ki之和称为这一项的次数。比如在以下这一项:

-5X^3 Y

中,系数是-5,不定元X的次数是3,Y的次数是1,这一项的次数是4. 可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式。如果一项中不含不定元,则称之为常数项。

同类项与項數[编辑]

如果某个多项式的两项中不定元的次数分别都相等,则称他们是同类项。可以将它们相加,得到单独的一项。这种操作称为合并同类项。经过合并同类项可以将多项式缩减为以最少项之和的形式呈现。这时的项的数量称为多项式的项数。例如多項式 \ Y^3+2X+5-0.3c 的項數是四,故稱為四項式。當中的 \ Y^3 \ 2X\ 5 -0.3c,都是此多項式的項。

以上例子中的多項式可以寫成四個以上项的和,如 \ Y^3+2X+5-0.3c =Y^3+3X-X+5-0.3c 是五项的和。

次數[编辑]

某个不定元Xs在多项式各项中最大的次数称为多项式中不定元Xs次数,拥有这样次数的Xs的项被称为Xs最高次项。所有项的次数中最高的称为多项式的次数。对于一元多项式来说,唯一的不定元的次数也称为多项式的次数,不定元的最高次项也称为多项式的最高次项

例如多項式:\ XY^3+2X+5-0.3c\ XY^3 次數最高,是4,故此多項式的次數為四。 因而此多項式可稱為三元四次四項式。\ XY^3 稱為四次項,\ 2X  -0.3c稱為一次項或線性項,而 5 是零次項或常數項。

多項式 P 的次數記作 deg(P)。约定零多项式没有次数,也没有不定元。常數多項式分為零次多項式(非零常数)和零多項式。一次多項式又稱為 線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。如果某个多项式的所有项都有相同次数,则称其为齐次多项式

一个一元多项式被称为首一多项式,如果它的最高次项的系数是R单位元

多项式的升幂及降幂排列[编辑]

选定一个不定元后,多项式可依各项中该不定元的次数以降序或升序排列。次数从低到高是升幂排列。次数从高到低是降幂排列。例如

\ 2X^5 Y^2 + 7X^3 Y^4 + 8X^1 Y^6

是依X的次数降幂排列。而

2Y^2 X^5 +  7Y^4 X^3 + 8Y^6 X^1.

则是以Y的次数升幂排列。

多项式的运算[编辑]

多项式的加法[编辑]

两个多项式相加可以看作是对两组单项式的和进行重组与合并同类项。通过加法结合律,可以将同类项放在一起,合并之后就得到了两个多项式的和[1][2]。例如以下的两个多项式:

\begin{align}
 {\color{BrickRed} P} &= {\color{BrickRed} 3X^2 - 2X + 5XY - 2} \\
 {\color{RoyalBlue} Q} &= {\color{RoyalBlue} -3X^2 + 3X + 4Y^2 + 8}
\end{align}

它们的和是:

{\color{BrickRed} P} + {\color{RoyalBlue}Q} =( {\color{BrickRed} 3X^2 - 2X + 5XY - 2} )\; + \; ({\color{RoyalBlue} -3X^2 + 3X + 4Y^2 + 8})

化简之後得到:

P + Q = X + 5XY + 4Y^2 + 6

多项式乘法[编辑]

计算两个多项式相乘时,首先使用乘法对加法的分配律将各项拆出,然后运用乘法结合律整合每一项,最后和加法一样整合同类项,就能得到乘积多项式[1]。例如以下的两个多项式:

\begin{align}
  \color{BrickRed} P &= \color{BrickRed}{2X + 3Y + 5} \\
  \color{RoyalBlue} Q &= \color{RoyalBlue}{2X + 5Y + XY + 1}
\end{align}

计算它们的乘积,步骤如下:

\begin{array}{rccrcrcrcr}
{\color{BrickRed}P}{\color{RoyalBlue}Q}&{{=}}&&({\color{BrickRed}2X}\cdot{\color{RoyalBlue}2X})
&+&({\color{BrickRed}2X}\cdot{\color{RoyalBlue}5Y})&+&({\color{BrickRed}2X}\cdot {\color{RoyalBlue}XY})&+&({\color{BrickRed}2X}\cdot{\color{RoyalBlue}1})
\\&&+&({\color{BrickRed}3Y}\cdot{\color{RoyalBlue}2X})&+&({\color{BrickRed}3Y}\cdot{\color{RoyalBlue}5Y})&+&({\color{BrickRed}3Y}\cdot {\color{RoyalBlue}XY})&+&
({\color{BrickRed}3Y}\cdot{\color{RoyalBlue}1})
\\&&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}2X})&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}5Y})&+&
({\color{BrickRed}5}\cdot {\color{RoyalBlue}XY})&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}1})
\end{array}

化简之後得到:

PQ = 4X^2 + 21XY + 2X^2Y + 12X + 15Y^2 + 3XY^2 + 28Y + 5

多项式除法[编辑]

整数之间的带余除法类似,一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明,设有多项式A和非零多项式B,则存在唯一的多项式QR,满足:

A = BQ + R

并且多项式R要么是零多项式,要么其次数严格小于B的次数。

作为特例,如果要计算某个多项式P除以一次多项式X - a得到的余多项式,可以直接将a带入到多项式P中。P除以X - a的余多项式是P (a)

具体的计算可以使用类似于竖式除法的方式。例如,计算 X^3 - 12X^2 - 42除以X-3,列式如下:


\begin{matrix}
\qquad\quad\;\, X^2 \; - 9X \quad - 27\\
\qquad\quad X-3\overline{\vert X^3 - 12X^2 + 0X - 42}\\
\;\; \underline{\;\;X^3 - \;\;3X^2}\\
\qquad\qquad\quad\; -9X^2 + 0X\\
\qquad\qquad\quad\; \underline{-9X^2 + 27X}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27X - 42\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27X + 81}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123
\end{matrix}

因此,商是\ X^2 - 9X - 27 ,餘式是\ -123

因式分解[编辑]

因式分解是指把一个多项式分解成几个(非常数的)多项式的乘积。其中的每一个多项式称为原多项式的因式。因式分解有助于理解多项式的性质,比如根的分布等等。因式分解的结果通常和多项式所在的系数域有关。如果要求因式分解後的每一个因式都在一定的系数域(比如有理数域)里面,那么结果可能和要求它们在另一个系数域(比如说复数域)里不同。比如多项式P = X^6 -2X^4 + 2X^2 - 1在有理数域内分解为:

P = (X+1)(X-1)(X^4 -X^2 + 1)

在实数域内则可以进一步分解为:

P = (X+1)(X-1)(X^2 -\sqrt{3} X + 1)(X^2 + \sqrt{3} X + 1),

在复数域内还可以再进一步分解:

P = (X+1)(X-1)(X - \frac{\sqrt{3} + i}{2})(X - \frac{\sqrt{3} - i}{2})(X + \frac{\sqrt{3} + i}{2})(X + \frac{\sqrt{3} - i}{2}).

如果给定了系数域,那么在不考虑因式排列顺序的情况下,因式分解是唯一的。如果(在给定的系数域上,)一个多项式不能被表示为次数严格比它低的多项式的乘积,就称它为不可约多项式。因式分解一般是指将多项式分解到不可再分的多项式乘积,也就是不可约多项式的乘积,否则称其为不完全的因式分解。

对于一元多项式来说,所有复系数多项式都可以分解成若干个一次因式的乘积,这个结论等价于代数基本定理。所有实系数多项式都可以分解为次数不超过二次的多项式的乘积。比较复杂的是有理数系数多项式的因式分解。首先,给定一个有理系数多项式P,可以将其乘以一个特定的有理数c,将其变成一个整系数多项式,所以有理系数多项式和整系数多项式的因式分解是等价的。如果一个整系数多项式各项系数的最大公约数是1,就称其为本原多项式。不是本原多项式的整系数多项式P,假设其各项系数的最大公约数是d,那么可以将P的因式分解问题转化为本原多项式P/d的因式分解问题。所以有理数系数和整系数多项式的因式分解都等价于本原多项式的因式分解问题。利用本原多项式可以证明:整系数多项式如果能分解为有理系数多项式的乘积,那么也必然能分解成整系数多项式的乘积。艾森斯坦判别法给出了判定整系数多项式不可约的充分条件。另一个常用的准则与多项式的最高次项系数与常数项系数有关。如果某个多项式P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n有某个有理数根\frac{p}{q}(既约形式),那么分子p 必然整除常数项系数a0,而分母q 也必然整除最高次项系数an

多項式函數[编辑]

多项式函数是指给多项式中的不定元赋值的映射。比如说一元多项式函数的普遍形式为:

f_P : \; \; \mathbb{A} \longrightarrow \mathbb{A}
x \; \; \mapsto a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n = P(x)

其中的\mathbb{A}是一个R-代数,可以是有理数、实数或复数。多项式函数是函数而不是多项式,但多项式函数之间也可以进行像多项式一般的加法、乘法运算,其结果仍旧是多项式函数。所以所有的多项式函数也构成一个环,而且这个环显然和多项式环R[X]同构

与多元多项式对应的也有多元多项式函数。比如f(x, y) = x^2 + y^2 - 1就是一个与二元多项式对应的二元多项式函数。

所有多项式函数都是光滑函数(无限可微连续函数),因此可以定义其导数原函数等概念。另外,当每个变量都趋于无穷大绝对值)的时候,多项式函数的值(绝对值)也趋于无穷大。

多项式方程[编辑]

多项式方程是指多项式函数构成的方程。给定多项式P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n,则对应的多项式函数可以构造方程:

f_P(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n = 0.

例如:

x^3 + 3x - 4 = 0

就是一个多项式方程。

如果某个r \in \mathbb{A}使得多项式方程f_P(r) = 0,那么就称r为多项式方程的,或多项式函数的一个零点。多项式函数的根与多项式有如下关系:如果某个r \in R是多项式函数f_P的一个根,那么一次多项式X - r整除多项式P,也就是说存在多项式Q,使得:P = (X - r)Q;反之亦然。如果存在(一般来说大于1的)正整数k,使得P = (X - r)^k Q,那么称r是多项式函数的一个k重根

多项式的根是否存在以及根的数目取决于多项式的系数域以及指定的根所在的域。代数基本定理说明,复系数多项式在复数域内必然有至少一个根。这可以推出,n次多项式函数必定有n个根。这里说的n个根指包括了重根的情况。另外可以证明,奇数次实系数多项式在实数域内至少有一个根。

多項式的分析特性[编辑]

多项式函数在分析学中有重要的作用。由于多项式函数有简洁明确的形式,很容易对其进行量化分析。比如,多项式函数

f_P(x) = a_0+a_1x + \cdots + a_n x^n = \sum_{k=0}^n a_k x^{k}.

它的导函数是:

f_P'(x) = a_1 + 2a_2 x + \cdots + n a_n x^{n-1} = \sum_{k=1}^n k  a_k x^{k-1}.

它的原函数(族)是:

\int f_P (x) \; \mathrm{d} x = C + a_0x + \frac12 a_1 x^2 + \cdots + \frac{1}{n+1} a_n x^{n+1} = C + \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} a_k x^{k+1}.

这个定义可以类比到多项式本身,令多项式中也定义导数的概念。多形式P = a_0+a_1 X + \cdots + a_n X^n的导数多项式是:

\mathrm{D}( P) =  a_1 + 2a_2 X + \cdots + n a_n X^{n-1} = \sum_{k=1}^n k  a_k X^{k-1}.

它的积分多项式则是:

\mathrm{I}(P) = a_0 X + \frac12 a_1 X^2 + \cdots + \frac{1}{n+1} a_n X^{n+1} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} a_k X^{k+1}.

一个n次多项式(n大于等于1)的导数多项式是一个n-1次多项式。常数多项式的导数多项式是零多项式。它的积分多项式则是一个n+1次多项式。\mathrm{D}\mathrm{I}分别称为多项式的微分算子积分算子

任意環上的多項式[编辑]

多項式可以推廣到係數在任意一個的情形,請參閱條目多項式環

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Edwards, Harold M. Linear Algebra. Springer. 1995: 47. ISBN 9780817637316. 
  2. ^ Salomon, David. Coding for Data and Computer Communications. Springer. 2006: 459. ISBN 9780387238043.