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判别式

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一元二次多项式的判别式 \Delta与其函数图像之间的关系

判別式代数学中的概念。一个系数系数多项式判别式是一个与之相关的表达式。判别式等于零当且仅当多项式有重根

当多项式的系数不是实数或复数时,同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时,判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为:

a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}

其中的a_n是多项式的最高次项系数,r_1, ..., r_n是多项式在某个分裂域中的根(如有重根的按重数重复排列)。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构,比如说圆锥曲线二次型代数数域中。在代数数论中,判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上,愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型,因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

定义[编辑]

二次方程的判别式[编辑]

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程ax^2+bx+c\,,其中系数a,b,c实数,则它的判别式定义为:

\Delta=b^2-4ac\,

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为r_1r_2,那么根据二次方程的求根公式,两个根可以表示为:

r_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \; \; r_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.

方程的根与判别式的关系为:

\Delta = a^2 (r_1- r_2)^2.

两个根都是实数,当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时,判别式等于零。如果判别式小于零,则两根是共轭复数

三次方程的判别式[编辑]

\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,

四次方程的判别式[编辑]

\begin{align}\Delta =&b^2c^2d^2-4b^3d^3-4ac^3d^2+18abcd^3\\
&-27a^2d^4+256a^3e^3-4b^2c^3e+18b^3cde\\
&+16ac^4e-80abc^2de-6ab^2d^2e+144a^2cd^2e\\
&-27b^4e^2+144ab^2ce^2-128a^2c^2e^2-192a^2bde^2 \,\end{align}


  • 二次项系数为零的首一三次多项式x^3+px+q\,的判别式是:
\Delta=-4p^3-27q^2\,

二次判别式[编辑]

二次多项式P(x)=ax^2+bx+c\,的判别式是D=b^2-4ac\,。在一元二次方程的求解中,判别式用来判断方程根的情况,并出现在根的表达式中。

  • 如果D>0\,,那么P(x)\,有两个相异实根x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},即P(x)\,的图像穿过x\,轴两次。
  • 如果D=0\,,那么P(x)\,有两个相等实根x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\,P(x)\,的图像与x\,相切
  • 如果D<0\,,那么P(x)\,没有实根,即P(x)\,的图像与x\,轴没有交点。

一般多项式的判别式[编辑]

对于一般的一个多项式

p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0

其判别式等于(差一个系数)以下的(2n-1)\times(2n-1)\,矩阵行列式(见西尔维斯特矩阵):

\left[\begin{matrix}
 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\
 & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\
 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right].

这个矩阵的行列式称为p(x)\,p'(x)\,结式,记为R(p,p')\,p(x)\,的判别式D(p)\,由以下公式给出:

D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,.

例如,在n= 4\,的情况下,以上的行列式是:

\begin{vmatrix}
 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
 & 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1&  0 \\
 & 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以a_4\,

作为等价条件,多项式的判别式等于:

a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}

其中r_1,\cdots,r_n\,是多项式p(x)\,根(重根按重数计算):

\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}

在这个表达式中可以清楚地看到p\,有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的中定义,定义方式一样。带有根r_i\,的表达式仍然有效,只是根要在系数域的某个分裂域中取。

圆锥曲线的判别式[编辑]

对于以下多项式所定义的圆锥曲线

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

它的判别式为:

b^2-4ac

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0,则是椭圆。如果判别式等于0,则是一条抛物线。如果大于0,则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形(当这个多项式可以因式分解时)。

二次型的判别式[编辑]

判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和:

Q = \sum_{i=1}^k a_{i} L_{i}^2

其中Lin个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有ai的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式

代数数域的判别式[编辑]

参见[编辑]

参考资料与外部链接[编辑]