判別式

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一元二次多項式的判別式 \Delta與其函數圖像之間的關係

判別式代數學中的概念。一個係數係數多項式判別式是一個與之相關的表達式。判別式等於零當且僅當多項式有重根

當多項式的係數不是實數或複數時,同樣有判別式的概念。判別式總是係數域中的元素。這時,判別式為零當且僅當多項式在它的分裂域中有重根。判別式的通常形式為:

a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}

其中的a_n是多項式的最高次項係數,r_1, ..., r_n是多項式在某個分裂域中的根(如有重根的按重數重複排列)。

判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構,比如說圓錐曲線二次型代數數域中。在代數數論中,判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上,愈為幾何的分歧類型對應着愈為抽象的判別式類型,因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。

定義[編輯]

二次方程的判別式[編輯]

最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程的求解中。假設有二次多項式方程ax^2+bx+c\,,其中係數a,b,c實數,則它的判別式定義為:

\Delta=b^2-4ac\,

判別式也是一個實數。如果設方程的兩個根為r_1r_2,那麼根據二次方程的求根公式,兩個根可以表示為:

r_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \; \; r_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.

方程的根與判別式的關係為:

\Delta = a^2 (r_1- r_2)^2.

兩個根都是實數,當且僅當判別式大於等於零。當且僅當兩根相等時,判別式等於零。如果判別式小於零,則兩根是共軛複數

三次方程的判別式[編輯]

\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,

四次方程的判別式[編輯]

\begin{align}\Delta =&b^2c^2d^2-4b^3d^3-4ac^3d^2+18abcd^3\\
&-27a^2d^4+256a^3e^3-4b^2c^3e+18b^3cde\\
&+16ac^4e-80abc^2de-6ab^2d^2e+144a^2cd^2e\\
&-27b^4e^2+144ab^2ce^2-128a^2c^2e^2-192a^2bde^2 \,\end{align}


  • 二次項係數為零的首一三次多項式x^3+px+q\,的判別式是:
\Delta=-4p^3-27q^2\,

二次判別式[編輯]

二次多項式P(x)=ax^2+bx+c\,的判別式是D=b^2-4ac\,。在一元二次方程的求解中,判別式用來判斷方程根的情況,並出現在根的表達式中。

  • 如果D>0\,,那麼P(x)\,有兩個相異實根x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},即P(x)\,的圖像穿過x\,軸兩次。
  • 如果D=0\,,那麼P(x)\,有兩個相等實根x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\,P(x)\,的圖像與x\,相切
  • 如果D<0\,,那麼P(x)\,沒有實根,即P(x)\,的圖像與x\,軸沒有交點。

一般多項式的判別式[編輯]

對於一般的一個多項式

p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0

其判別式等於(差一個係數)以下的(2n-1)\times(2n-1)\,矩陣行列式(見西爾維斯特矩陣):

\left[\begin{matrix}
 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\
 & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\
 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right].

這個矩陣的行列式稱為p(x)\,p'(x)\,結式,記為R(p,p')\,p(x)\,的判別式D(p)\,由以下公式給出:

D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,.

例如,在n= 4\,的情況下,以上的行列式是:

\begin{vmatrix}
 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
 & 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1&  0 \\
 & 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}

這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以a_4\,

作為等價條件,多項式的判別式等於:

a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}

其中r_1,\cdots,r_n\,是多項式p(x)\,根(重根按重數計算):

\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}

在這個表達式中可以清楚地看到p\,有重根當且僅當判別式為零。

多項式的判別式可以在任意的中定義,定義方式一樣。帶有根r_i\,的表達式仍然有效,只是根要在係數域的某個分裂域中取。

圓錐曲線的判別式[編輯]

對於以下多項式所定義的圓錐曲線

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

它的判別式為:

b^2-4ac

它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0,則是橢圓。如果判別式等於0,則是一條拋物線。如果大於0,則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形(當這個多項式可以因式分解時)。

二次型的判別式[編輯]

判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域K上的二次型Q上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和:

Q = \sum_{i=1}^k a_{i} L_{i}^2

其中Lin個變量的線性組合。這時可以定義Q的判別式為所有ai的乘積。另外一個定義是Q所對應的矩陣的行列式

代數數域的判別式[編輯]

參見[編輯]

參考資料與外部連結[編輯]