椭圆

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椭圆和它的某些数学性质。

数学中,椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹。这两个固定点叫做焦点

根據該定義,可以用手繪橢圓:先準備一條線,將這條線的兩端各綁在固定的點上(這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點);取一支筆,用筆尖将線繃緊,這時候兩個點和筆就形成了一個三角形(的兩邊);然後左右移動筆尖拉著線開始作圖,持續地使線繃緊,最後就可以完成一個橢圓的圖形了。

  • 由於兩個固定點之間的距離也是一定的,所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀,然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

概述[编辑]

一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。

椭圆是一种圆锥曲线:如果一个平面切截一个圆锥面,且不与它的底面相交,也不与它的底面平行,则圆锥和平面交截线是个椭圆。

在代数上说,椭圆是在笛卡尔平面上如下形式的方程所定义的曲线

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,

使得 B^2 < 4AC \,,这里的係数都是实数,并存在定义在椭圆上的点对 (x, y) 的多于一个的解。

穿过两焦点并终止于椭圆上的线段 AB 叫做长轴。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心(两焦点的连线的中点)垂直于长轴并且终止于椭圆的线段 CD 叫做短轴半長軸(图中指示为 a)是长轴的一半:从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。类似的,半短軸(图中指示为 b)是短轴的一半。

如果两个焦点重合,则这个椭圆是;换句话说,圆是离心率为零的椭圆。

中心位于原点的椭圆  A x^2 + B xy + C y^2 = 1 \, 可以被看作单位圆在关联于对称矩阵 A^\prime =\begin{bmatrix}A & B/2\\B/2 & C\end{bmatrix} = PDP^T \,线性映射下的图像,这里的 D 是带有 A^\prime特征值对角矩阵,二者沿着主对角线都是正实数的,而 P 是拥有 A^\prime特征向量作为纵列的实数的酉矩阵。椭圆的长短轴分别沿着 A^\prime 的两个特征向量的方向,而两个与之对应的特征值分别是半长轴半短轴的长度的平方的倒数。

椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成。

离心率[编辑]

椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率的一个数来表达,习惯上指示为 \varepsilon \,。离心率是小于 1 大于等于 0 的正数。离心率 0 表示着两个焦点重合而这个椭圆是

对于有半长轴 a 和半短轴 b 的椭圆,离心率是

\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}.

离心率越大,ab比率就越大,因此椭圆被更加拉长。

半焦距c 等于从中心到任一焦点的距离,则

\varepsilon = \frac{c}{a}.

距离 c 叫做椭圆的线性离心率。在两个焦点间的距离是 2aε。

方程[编辑]

在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。

中心位于点 (h,k) 的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定

\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1 .

这个椭圆可以参数化表达为

x = h+a\,\cos t,\,\!
y = k+b\,\sin t\,\!

这里的 t 可以限制于区间 -\pi\leq t \leq \pi\,\!

如果 h=0k=0(就是说,如果中心是原点(0,0)),则

椭圆方程 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)
图像
范围 -a\le x\le a,  -b\le y\le b -a\le y\le a,  -b\le x\le b

相對於中心的極坐標形式[编辑]

用极坐标可表达为

r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2 \cos^2 \theta}}

这里的 \varepsilon 是椭圆的离心率。

相對於焦點的極坐標形式[编辑]

橢圓的極坐標,原點在 F1

有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是

r = \frac{ a\cdot(1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon\cdot\cos\theta} .

半正焦弦和极坐标[编辑]

椭圆的半正焦弦,通常指示为 l\,\!),是从椭圆的一个焦点到椭圆自身,沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于 a\,\!b\,\!(椭圆的半轴),通过公式 al=b^2\,\! 或者如果使用离心率的话 l=a\cdot(1-\varepsilon^2)\,\!

椭圆,使用半正焦弦展示

极坐标中,一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程

r\cdot(1 + \varepsilon\cdot \cos \theta) = l \,\!

椭圆可以被看作是圆的投影:在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆,假定 φ 不是 90°。

橢圓(用紅色繪制)可以表達為内旋轮线在 R=2r 時的特殊情況。

面积和周长[编辑]

椭圆所包围的面积是 \pi ab \,,这里的  a \,,和 b \,, 是半长轴和半短轴。在圆的情况下 a=b \,,表达式简化为 \pi a^2 \,。 椭圆的周长是 4 a E(\frac{c}{a}),这里的函数 E \,是第二类完全椭圆积分

周长为:C= 4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt {1-(\frac{c}{a})^2 \sin^2\theta}\ {\rm{d}}\theta\!或者 C= 4a\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-(\frac{c}{a})^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t.\!

精确的无穷级数为:

C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2 (\frac{c}{a})^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{c^4\over {3a^4}} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{c^6\over{5a^6}} - \dots}\right]\!\,

或:

C = -2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace  \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {c^{2n}\over {{a^{2n}} \left(2n - 1 \right)}}\right\rbrace}

拉马努金给出一个更为接近的式子:

C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

它还可以写为:

C \approx 3a\pi \left[1+\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right )^2}\right] - a\pi \sqrt{\left[3+ \sqrt{1-(\frac{c}{a})^2}\right]\left[1+3 \sqrt{1-(\frac{c}{a})^2}\right]} \!\,

还有一条近似很高的公式:

C \approx \pi (a+b)\left[1+\frac{3(\frac{a-b}{a+b})^2}{10+\sqrt{4-3(\frac{a-b}{a+b})^2}}\right]\left[1+(\frac{22}{7\pi} -1)( \frac{a-b}{a} )^{33}\sqrt[1000]{(\frac{a-b}{a})^{697}}\right ]\!\,

标准方程的推导[编辑]

  • 如果在一个平面内一个动点到两个定点距离等于定长,那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

假设(注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便)动点为P(x,y) \,,两个定点为F_1(-c,0) \,F_2(c,0) \,,则根据定义,动点P的轨迹方程满足(定义式):

|PF_1|+|PF_2|=2a (a>0) \,,其中2a \,为定长。

用两点的距离公式可得:|PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \,|PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \,,代入定义式中,得:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \,

整理上式,并化简,得:

(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \,

a>c \,时,并设a^2-c^2=b^2 \,,则①式可以进一步化简:

b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \,

因为a^2b^2>0 \,,将②式两边同除以a^2b^2 \,,可得:

x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,

则该方程即动点P的轨迹方程,即椭圆的方程。这个形式也是椭圆的标准方程

  • 椭圆的图像如果在直角坐标系中表示,那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴,可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程
\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0) \,
  • 在方程中,所设的2a \,称为长轴长,2b \,称为短轴长,而所设的定点称为焦点,那么2c \,称为焦距。在假设的过程中,假设了a>c \,,如果不这样假设,会发现得不到椭圆。当a=c \,时,这个动点的轨迹是一个线段;当a<c \,时,根本得不到实际存在的轨迹,而这时,其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意,在假设中,还有一处:a^2-c^2=b^2 \,
  • 通常认为是椭圆的一种特殊情况。

椭圆的旋转和平移[编辑]

对于平面上任意椭圆  A x^2 + 2B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,,我们总可以将之转化为

A(x-u)^2 + 2B(x-u)(y-v) + C(y-v)^2 + f = 0 \,

的形式。具体步骤为,将后式的各乘积乘方项展开,根据与前式对应项係数相等的法则便可求得u,v,f的值。其中,(u,v) \,便是该椭圆的中心(f=0)。

若将

x=x^\prime - u
y=y^\prime - v

带入式中便可得到平移前的椭圆。

B\ne 0,则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直,即发生了旋转。设旋转的角度为\displaystyle \varphi,则有

\displaystyle  tan(2 \varphi)=2B/(A-C)A-C=0,则说明\varphi=\pm \frac{\pi}{4}

若将

x=x^\prime \cos \varphi - y^\prime \sin \varphi
y=y^\prime \cos \varphi + x^\prime \sin \varphi

带入式中便可得到旋转前的椭圆。

漸開線及其導數[编辑]


\begin{cases}
  x=a\cos t+\cfrac{abE\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\!\, \\
  \\
  y=b\sin t+\cfrac{b^2E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\!\, \\
\end{cases}



\begin{cases}
\cfrac{{\rm{d}}x}{\rm{d}t}=\cfrac{\left[b^2\sin 2t-2b^2\sin t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\right]\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)-ab\left(a^2-b^2\right)\sin 2t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{2\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}-a\sin t\!\, \\
\\

\cfrac{{\rm{d}}y}{\rm{d}t}=\cfrac{\left[b^3\sin 2t-2ab^2\sin t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\right]\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)-ab^2\left(a^2-b^2\right)\sin 2t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{2a\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}+b\cos t\!\, \\
\end{cases}

有了橢圓漸開線的導數我們可以計算它的長度,其中E\left(t,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\,是第二類完全橢圓積分

参见[编辑]

外部链接[编辑]