五角星

一顆五角星

五角星，又稱五芒星，是指一種有五隻尖角，並以五條直線畫成的星星圖形。英文「五角星」（pentagram）一詞出於希臘語「πεντάγραμμος」（pentagrammos）或「πεντέγραμμος」（pentegrammos）的名詞形式「πεντάγραμμον」（pentagrammon），原意大概是「五條直線的」或「五條線」。而中文「五角星」的意義則顯而易見，指有五隻角的星形。然而，中文「五角星」不一定指本文所談論的「標準」五角星。中文「五角星」一詞有時亦泛指所有有五隻角的星形物。

本文以下所讨论的五角星是指「標準」五角星。即正五角星。

几何

含有黄金分割的正五边形

五角星是边数最少多角形。最简单画它的方法是先画一个正五边形，把各角用直线相连并擦去原来的五边形。也可以延长原五边形的各边直到它们相交，从而得到一个大的五角星。

黄金分割比（golden ratio），$\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \cdots$，满足：

$\varphi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ\,$

$\varphi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)\,$

$\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,$

在正五边形和五角星中扮演一个重要的角色。每条边都被分割成几段小的线段，如果用一对线段中较长线段的长度除以较短线段的长度将得到$\varphi$。

$\varphi =$	红色	＝	蓝色	＝	绿色
	蓝色		绿色		紫色

大五边形的一条边与一条蓝色线段等长，同样的小五角星的一条对角线与一条绿色线段等长。

如果线段有长度（线条），那图中就有两个相似的正五边形。“线段”怎样，线条就怎样，并且它们的交点也可能变化。例如，在摩洛哥的国旗上，绿色五角星有一个黑色的外轮廓，它不“穿过”相交的线条。这跟埃塞俄比亚国旗上五角星中的完全黄色和没有外轮廓，是不一样的。

一些相关几何值

$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=(\varphi-1)/2=1/(2\varphi)$

$\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}$

$\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}$

$\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}$

$\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}$

$\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} = \varphi/2$

$\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5}$

$\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}$

因此，在一个有一个或两个36°角的等腰三角形里，两边中较长边的长度，是较短边的$\phi$倍，无论是锐角三角形或者钝角三角形。

历史

・最早对五角星的使用被发现在美索不达米亚的文献资料里，距今可以追溯到大约公元前3000年。苏美尔语中五角星是被用作“UB”的象形文字，意思是“墙角、角度、隐蔽处、小房间、空洞、孔、陷阱”，表示一些极像pentemychos的东西（参见下面毕达哥拉斯学说的使用）。在labat（苏美尔语象形文字字典）中它代表数字306，并且它被表现为两角向上。在巴比伦语的文献中，五角星的边可能表示定位：前、后、左、右和“上”。这些方向同样有一个占星学的含义，代表五个星球：木星、水星、火星、土星和“天堂的皇后”（Ishtar）金星（代表上位）。

・五芒星是一个在基督教产生之前有关自然崇拜的符号。古人认为世界由两部分组成——一半雄性，一半雌性。神和女神共同作用保持力量平衡，即阴阳平衡，世界就处于和谐的状态下。不平衡时，世界就一片混乱。五芒星代表的是万物中阴性的一半——一位著名的宗教历史学家称之为“神圣女性”或“神圣女神”的代表。早期宗教都是基于大自然神性的秩序之上的，女神维纳斯（Venus）和金星（Venus)]是同一的。女神在夜空中也有一席之地，夜空中的女神有较多名字——金星，东方之星，伊师塔，阿斯塔蒂等，都是充满活力与自然和大地母亲密切相关的阴性概念。

・五芒星的形象特征其实最早源于金星。金星每八年在太空中的运行轨迹正好是一个正五边形。古人观察到这种现象后，对之极其敬畏，于是金星和五芒星便成了至善至美和周期性的性爱的象征。为礼赞金星的神奇，希腊人以八年为一个周期循环来组织奥林匹克运动会。很少有人知道现在四年一届的奥林匹克运动会是沿袭了金星循环运转的半个周期，更少有人知道五芒星差点成为了奥林匹克运动会的正式标志，只不过到了最后时刻才将五芒星的五个角换成了五个相互联结的环，以更好表现奥林匹克运动会包容与和谐的精神。

・在许多美国好莱坞的系列恶魔杀手电影中，五芒星以极其频繁的频率出现在了屏幕上。它经常被无辜地与一些被指责为恶魔符号的东西一道被胡乱地画在某些恶魔杀手住所的墙上，即被扭曲地解释成了恶魔。但从史学角度来谈论，这并不正确。它最起初的女性含义是正确的。但这一千多年来，五芒星的象征意义被严重地扭曲了。象征符号是很弹性的，五芒星符号的意义被早期的罗马天主教给更改了。作为梵蒂冈清除异教并使大众皈依基督教的运动的一部分，天主教掀起了一个污蔑异教神和异教女神的运动，把他们神圣的象征符号重新解释为邪恶的符号。

・然而，后来各国的军方也曲解了五芒星，现在它成为了最重要的战争符号。他们把它涂在战机上，挂在将军们的肩膀上。并广泛地被广大群众误解并随意使用。

其他方面

晴明紋

• 五角星被很多国家的军队作为军官（尤其是高级军官）的军衔标志使用。
• 一直以來，五角星都與对金星和維納斯的崇拜有密切關係。造成這關係的各個可能原因中，最可信的是史前天文學家的觀察。由地球望去，圍著太陽的金星軌道每八年重覆一次。它自成的五個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。
• 在古希臘和巴比倫，五角星也有特殊的象徵意義。五角星是魔術的代表符號，是非猶太教徒的符號。初期基督教會亦有用五角星代表耶穌的五個傷口，但現在則多代表異教徒和撒但主義者。
• 五角星在魔法中是一種特別的圖形，用正的五角星作魔法陣是白魔法，用倒的五角星則是象徵黑魔法。
• 而在東方陰陽五行裡面，五行相生相剋的連線剛好是五角星。在日本，安倍晴明使用桔梗紋變形的五芒星，被稱為桔梗印，現在是晴明神社的神紋。
• 从最直观的方面看，五角星是最类似人形的多边形。
• 倒五芒星可以是代表神。

參考

• Libri tres de occulta philosophia (book III, chapter xxxi) by Heinrich Cornelius Agrippa
• Le Imagini degli Dei degli Antichi by Vincenzo Cartari

外部連結

• Pentagons & Pentagramsnew facts about pentagons and pentagrams by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. Key concept: Menelaus Theorem.
• The PentagramThe Pentagram and Religion
• The Pythagorean Pentacle from the Biblioteca Arcana.
• Miquel's Pentagram - Dynamic Geometry by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• Pentagram -- from MathWorld
• The Pythagorean Pentacle
• The pentagram as geometry
• The Pentagram by DMGould Ireland's Own Myths & Magic:
• The Pentagram and Freemasonry
• Pythagoreanism Web Site
• Signs of the Devil
• In-depth analysis of the Golden Ratio