克莱因瓶

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三维空间中的克莱因瓶

数学领域中,克莱因瓶德语Kleinsche Flasche)是指一种无定向性的平面,比如二维平面,就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。

克莱因瓶的结构非常简单,一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它也不类似于气球,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)。

其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」(克萊因平面),後來被誤解為「Kleinsche Flasche」(克萊因瓶)。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。[1]

性质[编辑]

拓扑学角度上看,克莱因瓶可以定义为[0,1] × [0,1]的矩阵,边定义为(0,y) ~ (1,y),其中0 ≤ y ≤ 1;和(x,0) ~ (1-x,1),其中0 ≤ x ≤ 1。

可以用图表示为

Klein Bottle Folding 1.svg

就像莫比乌斯带一样,克莱因瓶是不可定向的。但是与之不同的是,克莱因瓶是一个闭合的曲面,也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维或更高维的欧几里得空间,克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。

结构[编辑]

克萊因瓶的結構非常簡單,一個瓶子底部有一個洞,並延長瓶子的頸部,然後扭曲地進入瓶子內部,最後與底部的洞相連接。

参数化[编辑]

克莱因瓶的参数十分复杂:

\begin{align}
&x(u,v) = -\frac{2}{15} \cos u (3 \cos{v}-30 \sin{u}+90 \cos^4{u} \sin{u} -60 \cos^6{u} \sin{u}+5 \cos{u} \cos{v} \sin{u}) \\
&y(u,v) = -\frac{1}{15} \sin u (3 \cos{v}-3 \cos^2{u} \cos{v}-48 \cos^4{u} \cos{v}+48 \cos^6{u} \cos{v}-60 \sin{u}+5 \cos{u} \cos{v} \sin{u}\\
&\quad\quad\quad\quad -5 \cos^3{u} \cos{v} \sin{u}-80 \cos^5{u} \cos{v} \sin{u}+80 \cos^7{u} \cos{v} \sin{u}) \\
&z(u,v) = \frac{2}{15} (3+5 \cos{u} \sin{u}) \sin{v}\\
&(0\le u < \pi,0\le v < 2\pi)
\end{align}

还有一个较简单的

\begin{align}
&x(u,v)=\cos u(cos\frac{u}{2}(\sqrt{2}+\cos v)+\sin\frac{u}{2}\sin v\cos v)\\
&y(u,v)=\sin u(cos\frac{u}{2}(\sqrt{2}+\cos v)+\sin\frac{u}{2}\sin v\cos v)\\
&z(u,v)=-\sin\frac{u}{2}(\sqrt{2}+\cos v)+\cos\frac{u}{2}\sin v\cos v
\end{align}

参看[编辑]

参考资料[编辑]