悬链线

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不同的悬链线
鐵鏈形式的悬链线。
蜘蛛絲形成多個(近似的)悬链线。

悬链线是一种曲线,它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。它的公式为:

y = a\cosh \frac{x}{a}

其中cosh是雙曲余弦函数,a 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数x軸為其準線。具体来说,a=\frac{T_0}{g\lambda},其中g是重力加速度,\lambda是线密度(假设绳子密度均匀),而T_0是绳子上每一点处张力的水平分量,它取决于绳子的悬挂方式;若绳子两端在同一水平面上,则下面的方程决定了T_0

\frac{L}{a}=\sinh\frac{d}{a}

其中L是绳子总长的一半,d是端点距离的一半。

方程的推导[编辑]

表达式的证明

如右图,设最低点A处受水平向左的拉力H,右悬挂点处表示为C点,在AC弧线区段任意取一段设为B点,则B受一个斜向上的拉力T,设T和水平方向夹角为\theta,绳子的质量为m,受力分析有: 注释 注释

T\sin\theta=mg

T\cos\theta=H

tan\theta=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mg}{H}

mg=\rho s, 其中s是右段AB绳子的长度,\rho是绳子线重量密度,代入得微分方程\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\rho s}{H};利用弧长公式\mathrm{d}s=\sqrt{1+\dfrac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\mathrm{d}x;所以s=\int\sqrt{1+\dfrac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\mathrm{d}x;

所以把s代入微分方程得\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\rho\int\sqrt{1+\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\frac{\mathrm{d}x}{H}\ \cdots\cdots\ (1)

对于(1)p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}微分处理

p'=\frac{\rho}{H}\sqrt{1+p^2}\ \cdots\cdots\ (2)

p'=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x};

(2)分离常量求积分

∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx

得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C,即asinhp(反双曲正弦)=ρx/H+C

当x=0时,dy/dx=p=0;带入得C=0;

整理得asinhp=ρx/H 另祥解: (ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H);

p=sh(ρx/H) (1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2);

(p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx);

y=ch (ρx/H)* H / ρ (y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] );

令a=H/ρ: y=a*cosh (x/a)

(y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。

工程中的应用[编辑]

悬索桥双曲拱桥架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用,a称作悬链系数。如果我们改变公式的写法,会给工程应用带来很大帮助,公式及图像如下:

y = a\ \left( \cosh \frac{x}{a} -1 \right)
File:Catenary02.png

还有以下几个公式,可能也有用:

L = a\ \sinh \frac{x}{a}
\tan \alpha = \sinh \frac{x}{a}
F_0 = a\ \gamma

其中L是曲线中某点到0点的链索长度,\alpha是该点的正切角,F_0是0点处的水平张力,\gamma是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

參見[编辑]